Vol. 2, No. 6, 2008

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ISSN: 1944-7833 (e-only)
ISSN: 1937-0652 (print)
Arguments des unités de Stark et périodes de séries d'Eisenstein

Pierre Charollois and Henri Darmon

Vol. 2 (2008), No. 6, 655–688
Abstract

Cet article décrit une construction conjecturale (dans l’esprit du 12ème problème de Hilbert) d’unités dans des extensions abéliennes de certains corps de base qui ne sont ni totalement réels ni de type CM. Ces corps de base possèdent un unique plongement complexe, et sont des extensions quadratiques d’un corps totalement réel F. On les appelle corps ATR («almost totally real»). Notre construction fait intervenir certains cycles topologiques homologiquement triviaux sur la variété modulaire de Hilbert associée à F. Les unités spéciales sont les images de ces cycles par une application qui repose sur l’intégration des séries d’Eisenstein de poids deux sur GL2(F), et peut être vue comme un analogue formel des applications d’Abel–Jacobi de la théorie des cycles algébriques. On démontre que notre conjecture est compatible avec la conjecture de Stark pour les extensions ATR. Elle donne même un raffinement de la conjecture de Stark dans ce contexte, puisqu’elle fournit une formule analytique pour les arguments des unités de Stark, et pas seulement pour leurs valeurs absolues. La dernière section présente des résultats d’expériences numériques qui appuient notre conjecture.

We describe a conjectural construction (in the spirit of Hilbert’s Twelfth problem) of units in abelian extensions of certain base fields which are neither totally real nor CM. These base fields are quadratic extensions with exactly one complex place of a totally real number field F, and are referred to as almost totally real (ATR) extensions. Our construction involves certain null-homologous topological cycles on the Hilbert modular variety attached to F. The special units are the images of these cycles under a map defined by integration of weight two Eisenstein series on GL2(F). This map is formally analogous to the higher Abel–Jacobi maps that arise in the theory of algebraic cycles. We show that our conjecture is compatible with Stark’s conjecture for ATR extensions ; it is, however, a genuine strengthening of Stark’s conjecture in this context since it gives an analytic formula for the arguments of the Stark units and not just their absolute values. The last section provides numerical evidence for our conjectures.

Keywords
séries d'Eisenstein, périodes des formes modulaires de Hilbert, arguments des unités de Stark, conjectures de Stark, douzième problème de Hilbert, application d'Abel–Jacobi, cohomologie du groupe modulaire de Hilbert, fonction d'Asai, valeurs spéciales de fonctions zéta partielles, Eisenstein series, periods of Hilbert modular forms, arguments of Stark units, Stark conjectures, Hilbert twelfth problem, Abel–Jacobi map, cohomology of the Hilbert modular group, Asai function, special values of partial zeta functions
Mathematical Subject Classification 2000
Primary: 11F67
Secondary: 11F75
Milestones
Received: 21 May 2008
Accepted: 25 June 2008
Published: 14 October 2008
Authors
Pierre Charollois
Institut de mathématiques de Jussieu
Équipe de théorie des nombres
Case 247–4, place Jussieu
75252 Paris Cedex
France
http://www.math.jussieu.fr/~charollois/pageperso.html
Henri Darmon
The Department of Mathematics and Statistics
McGill University
805 Sherbrooke Street West
Montreal, QC H3A 2K6
Canada
http://www.math.mcgill.ca/darmon/