Vol. 9, No. 10, 2015

 Download this article For screen For printing
 Recent Issues
 The Journal Cover Editorial Board Editors' Addresses Editors' Interests About the Journal Scientific Advantages Submission Guidelines Submission Form Subscriptions Editorial Login Contacts Author Index To Appear ISSN: 1944-7833 (e-only) ISSN: 1937-0652 (print)
Induction parabolique et $(\varphi,\Gamma)$-modules

Christophe Breuil

Vol. 9 (2015), No. 10, 2241–2291
Abstract

Soit $L$ une extension finie de ${ℚ}_{p}$ et $B$ un sous-groupe de Borel d’un groupe réductif déployé connexe $G$ sur $L$ de centre connexe. On définit un foncteur contravariant et exact à droite de la catégorie des représentations lisses de $B\left(L\right)$ sur $ℤ∕{p}^{m}ℤ$ vers la catégorie des limites projectives de $\left(\phi ,\Gamma \right)$-modules étales (pour $Gal\left({\overline{ℚ}}_{p}∕{ℚ}_{p}\right)$) sur $ℤ∕{p}^{m}ℤ$. On montre que ce foncteur est insensible à l’induction parabolique et que, restreint aux représentations de longueur finie dont les constituants sont des sous-quotients de séries principales, il est exact et donne de “vrais” $\left(\phi ,\Gamma \right)$-modules. Par passage à la limite projective, on en déduit que, convenablement normalisé, il envoie la $G\left({ℚ}_{p}\right)$-représentation $\Pi {\left(\rho \right)}^{ord}$ de Breuil et Herzig (Duke Math. J. 164:7 (2015), 1271–1352) vers le $\left(\phi ,\Gamma \right)$-module de la représentation ${\left({L}^{\otimes }{|}_{{\stackrel{̂}{B}}_{{C}_{\rho }}}\right)}^{ord}\circ \rho$ de $Gal\left({\overline{ℚ}}_{p}∕{ℚ}_{p}\right)$, reliant ainsi les deux constructions de loc. cit.

Let $L$ be a finite extension of ${ℚ}_{p}$ and $B$ a Borel subgroup of a split reductive connected algebraic group $G$ over $L$ with a connected center. We define a right exact contravariant functor from the category of smooth representations of $B\left(L\right)$ over $ℤ∕{p}^{m}ℤ$ to the category of projective limits of étale $\left(\phi ,\Gamma \right)$-modules (for $Gal\left({\overline{ℚ}}_{p}∕{ℚ}_{p}\right)$) over $ℤ∕{p}^{m}ℤ$. We show that this functor is insensitive to parabolic induction and that, when restricted to finite length representations with all constituents being subquotients of principal series, it is exact and yields “genuine” $\left(\phi ,\Gamma \right)$-modules. By a projective limit process, we deduce that, conveniently normalized, it sends the $G\left({ℚ}_{p}\right)$-representation $\Pi {\left(\rho \right)}^{ord}$ of Breuil and Herzig (Duke Math. J. 164:7 (2015), 1271–1352) to the $\left(\phi ,\Gamma \right)$-module of the representation ${\left({L}^{\otimes }{|}_{{\stackrel{̂}{B}}_{{C}_{\rho }}}\right)}^{ord}\circ \rho$ of $Gal\left({\overline{ℚ}}_{p}∕{ℚ}_{p}\right)$, thus connecting the two constructions of loc. cit.

Keywords
p-adic Langlands, parabolic induction, (phi, Gamma)-modules
Mathematical Subject Classification 2010
Primary: 11S20
Secondary: 20G25, 20G05
Milestones
Received: 6 September 2014
Revised: 12 June 2015
Accepted: 8 August 2015
Published: 16 December 2015
Authors
 Christophe Breuil C.N.R.S. et Université Paris-Sud Bâtiment 425 91405 Orsay Orsay France