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Concerning real and complex continuous groups. (English) JFM 32.0135.01

Die Abhandlung soll gewisse Unterschiede und Analogien zwischen verwandten reellen und komplexen kontinuierlichen Gruppen beleuchten. In \(\S\S\) 2-4 werden eine reelle Gruppe in \(m\) Variabeln und eine reelle Gruppe in \(2m\) Variabeln, jede von \(m^2\) Parametern, vorgeführt, so daßdie korrespondierenden komplexen Gruppen von gleicher Struktur sind. In \(\S\S\) 5-8 wird für \(m=2\) gezeigt, daßdie beiden reellen Gruppen verschiedene Strukturen haben. Von den drei geführten Beweisen sind die beiden ersten analytisch und verlangen wenig technische Kenntnisse der Gruppentheorie, während der dritte Beweis geometrisch ist und eine bessere Einsicht in die Natur der Frage gibt. Im \(\S\) 10 wird für den Fall \(m=2\) erläutert, wie die allgemeine \(2m\)-äre lineare homogene komplexe kontinuierliche Gruppe zu einer isomorphen \(2m\)-ären linearen homogenen reellen kontinuierlichen Gruppe Anlaßgibt. In ähnlicher Weise führen die komplexen projektiven Gruppen zu Gruppen birationaler quadratischer Transformationen. Die Untersuchung hängt direkt zusammen mit des Verf. Bestimmung der Struktur der größten Gruppe in dem \(GF[p^{2n}]\) (Math. Ann. 52, 516-581), \(\varSigma \xi_i \overline{\xi_i}\) invariant läßt, wo \(\overline{\xi_i}\) zu \(\xi_i\) bezüglich des \(GF[p^n]\) konjugiert ist; ferner mit der Abhandlung von Moore über die universale Invariante endlicher Gruppen linearer Substitutionen. (Math. Ann. 50, 213-219).

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