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On the subgroups of order a power of \(p\) in the linear homogeneous and fractional groups in the \(GF[p^n]\). (English) JFM 35.0170.01

Die Abhandlung beschäftigt sich mit den einer Ordnung gleich einer Primzahlpotenz angehörigen Untergruppen der allgemeinen linearen homogenen \([GLH (m,p^n)]\), der speziellen linearen homogenen und der linearen gebrochenen Gruppen von \(m\) Variabeln mit Koeffizienten in dem \(GF [p^n]\). Einige der Ergebnisse für die dritte Gruppe mögen hier Platz finden. Eine Untergruppe von der Ordnung höchstmöglicher Potenz von \(p\), nämlich \(p^{\mu n}\), \(\mu \equiv \frac 12 m(m - 1)\), wird in sich selbst durch genau \((p^n - 1)^{m - 1} p^{\mu n}/d\) Operatoren von \(LF(m,p^n)\) transformiert, wo \(d\) der größte gemeinsame Teiler von \(m\) und \(p^n - 1\) ist. Die Ordnungen der umfangreichsten Untergruppen von \(LF(4,p)\), welche Untergruppen von der Ordnung \(p^5\) in sich selbst transformieren, sind: \[ \begin{aligned} & (p - 1)^2 p^6/d, \quad a (p - 1)^2 p^6/d,\\ a&(p - 1) p^6/d, \quad (p^2 - 1)(p - 1)^2 p^6/d, \end{aligned} \] wo \(a = 2\), wenn \(p > 2\), und \(a = 1\), wenn \(p = 2\). Für \(LF(3,p)\) und Untergruppen von der Ordnung \(p^3\) sind die Zahlen \((p^2 - 1)(p - 1)p^3/d\) und \((p - 1)p^3.\)

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