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On the class of the substitutions of various linear groups. (English) JFM 36.0210.02

Durch die Untersuchungen von Maillet in Toulouse Ann. (2) 6, 277-349 (vgl. unten S. 211 (JFM 36.0211.01)) angeregt, teilt Dickson die Resultate seiner bezüglichen Forschungen mit, welche er im Anschlußan seine Abhandlung im American J. 23, 337-377 angestellt hat (F. d. M. 32, 134, 1901, JFM 32.0134.03). Wir geben seine Theoreme im Wortlaut wieder: I. Die allgemeine \(m\)-äre lineare homogene Gruppe im \(GF[p^n]\) enthält Substitutionen der Klassen \(p^{nm}- p^{nt}\) \((t=0,1, \dots, m-1)\) ausschließlich und ist \(m\)-fach unvollständig transitiv. Für die nichthomogene Gruppe ist die allein hinzukommende Klasse \(p^{nm}\); sie ist \((m+1)\)-fach unvollständig transitiv. Die Klasse der beiden Gruppen ist \(p^{nm}-p^{n(m-1)}\). II. Für beliebige ganze Zahlen \(m\) und \(n\) enthält die \(m\)-äre lineare homogene Gruppe modulo \(n\) Substitutionen der Klassen \(n^m-d_i\) ausschließlich, wo \(d_i\) die Divisoren von \(n^m\) durchläuft. Für die nichthomogene Gruppe ist die allein hinzutretende Klasse \(n^m\). III. Die allgemeine oder spezielle \(2m\)-äre lineare Abelsche Gruppe im \(GF[p^n]\) enthält Substitutionen der Klassen \(p^{2nm}-p^{nt} (t=0, 1, \dots, 2m-1)\) ausschließlich. IV. Die \(m\)-äre Gruppe \(H\) aller hyperorthogonalen Substitutionen in \(GF[p^{2s}]\) enthält Substitution der Klassen \(p^{2sm-2st}(p=0,1, \dots, m-1)\) ausschließlich. Dasselbe gilt für die Untergruppen \(H_1\) von der Determinante 1. V. Die Gruppe \(O\) aller \(m\)-ären orthogonalen Substitutionen im \(GF[p^n]\) enthält Substitutionen der Klassen \(p^{nm}-p^{nt}\) \((t=0,1,\dots, m-1)\) ausschließlich. Die Untergruppe \(O_1\) orthogonaler Substitutionen von der Determinante \(+1\) enthält Substitutionen der Klassen \[ p^{nm}-p^{2kn} \quad (k=0, 1, \dots, \tfrac 12 \,m-1) \] ausschließlich, wenn \(m\) gerade ist, aber der Klassen \[ p^{nm}-p^{(2k-1)m} \quad(k=1, \dots, \tfrac 12(m-1)) \] ausschließlich, wenn \(m\) ungerade ist. VI. Die \(2m\)-äre hypoabelsche Gruppe \(G_2\) in \(GF[2^n]\) enthält Substitutionen der Klassen \[ 2^{nm}-2^{nt} \quad (t=0,1, \dots, 2m-1) \] ausschließlich. VII. Die Untergruppe \(J_\lambda\) vom Index 2 unter \(G_\lambda\) enthält Substitutionen der Klassen \(2^{nm}-2^{nj}\) \((j=0, 1, \dots, m-1)\) ausschließlich.

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