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On quadratic, hermitian and bilinear forms. (English) JFM 37.0137.01

Die Abhandlung zerfällt in vier Teile.
Zuerst wird die Reduktion quadratischer Formen auf kanonische Typen unter Voraussetzung eines beliebigen Feldes behandelt, während man sich bisher auf endliche Felder sowie auf das Feld aller reellen oder aller komplexen Zahlen beschränkt hat. Sodann wird die Reduktion von Hermiteschen Formen in Angriff genommen, unter Zugrundelegung eines Feldes \(Q\), das man erhält, wenn man einem beliebigen Felde \(F\) eine Wurzel einer zugehörigen und in \(F\) irreduzibeln quadratischen Gleichung adjungiert.
Das Problem wird vollständig gelöst, wenn \(F\) ein endliches Feld ist, oder das aller reellen Zahlen, oder endlich das aller rationalen Zahlen.
Im dritten Teile werden in einem beliebigen Felde bilineare Formen betrachtet, die gegenüber einer gegebenen Substitution \(S\), mit Koeffizienten in \(F\), invariant bleiben.
Es werden die notwendigen und hinreichenden Bedingungen aufgestellt, denen \(S\) zu genügen hat, damit Invarianten existieren; die Reduktion der letzteren auf eine einzige kanonische Gestalt vollzieht sich vermöge einer mit \(S\) kommutativen Transformation.
Im vierten Teile werden die entsprechenden Fragen für quadratische Formen behandelt; der Verf. gelangt so zu der Verallgemeinerung der von Jordan (s. das Referat auf S. 136) für das Feld einer Primzahl \(p\) erhaltenen Resultate auf ein beliebiges Feld \(F\).
Der explizite Ausdruck für eine allgemeine Invariante ist ganz analog, aber das Problem von ihrer Reduktion auf kanonische Gestalten durch mit \(S\) vertauschbare Substitutionen gestaltet sich im allgemeinen Falle sehr viel verwickelter. Als “seminormale” Gestalten der Invariante ergeben sich Ausdrücke von der Struktur \(\sum B_i+\sum a_iH_i+\sum a_i'H_i'+\dotsm +\sum A_i+\sum b_iQ_i+\sum b_i'Q_i'+\dotsm\), wo die Invarianten \(B_i,H_i,A_i\) und \(Q_i\) resp. den Charakter bilinearer, Hermitescher, alternierender bilinearer und quadratischer Formen aufweisen, jeweils mit völlig bestimmten Koeffizienten, während die \(b_i,b_i',\dots\) nicht verschwindende Elemente von \(F\) sind, und die \(a_i,a_i',\dots\) nicht verschwindende Elemente gewisser Felder \(F(\varrho )\). Die Ausführung lehrt, daß die gedachten Kanonisierungen auf die in Teil I und II erledigten zurückgeführt werden können.
Die Methode des Verf. werde etwa für den ersten Fall, die Reduktion quadratischer Formen in einem beliebigen Felde \(F\), erläutert.
Eine quadratische Form (von nicht verschwindender Determinante) ist, durch Übertragung des üblichen Beweises für das Feld aller reeller Zahlen, linear reduzibel auf (1) \(q\equiv\sum_{i=1}^n a_ix_i^2\), wo jedes \(a_i\) ein nicht verschwindendes Element von \(F\) ist.
Vermöge einer weiteren linearen Substitution mit Koeffizienten \(b_{ij}\) und neuen Variabeln \(y\) geht \(q\) über in \[ \sum_{j=1}^nA_jy_j^2+2\sum_{j,k(j<k)}^{1,\dots ,n} B_{jk}y_iy_k,\text{ wo } A_j\equiv \sum_{i=1}^na_ib_{ij}^2,\; B_{jk}\equiv\sum_{i=1}^na_ib_{ij}b_{ik}. \] Es erhebt sich damit die Frage: Sind gegeben \(b_{11},b_{21},\dots ,b_{n1}\) in dem allgemeinen Felde \(F\), so daß \(A_1 \neq 0\), lassen sich dann Elemente \(b_{ij}\) \((j>1)\) von \(F\) so bestimmen, daß jedes \(B_{jk}=0\) und \(\varDelta\equiv |b_{ij}| \neq 0\) wird? In der Tat lassen sich die \(b_{ij}\) sukzessive so konstruieren, daß die fraglichen Bedingungen mit einer gewissen Einschränkung erfüllt werden, und es gilt der Satz: Ist \(F\) ein beliebiges Feld, jedoch mit einem Modul \(>n-3\), so existiert eine lineare Transformation \((b_{ij})\) in \(F\), mit vorgegebenen Werten der \(b_{11},b_{21},\dots ,b_{n1}\) derart, daß \(\sum_{i=1}^na_ib_{i1}^2 \neq 0\), die eine vorgelegte quadratische Form \(\sum_{i=1}^na_ix_i^2\) ersetzt durch eine solche vom Typus \(\sum_{i=1}^nA_ix_i^2\) mit \(A_1=\sum_{i=1}^na_ib_{i1}^2\). In dem besonderen Falle eines endlichen Feldes von einem Modul \(p>2\) läßt sich jede quadratische Form in \(n\) Variabeln von nicht verschwindender Determinante reduzieren entweder auf \(\sum_{i=1}^nx_i^2\), oder aber auf \(\sum_{i=1}^{n-1}x_i^2\, +\, \nu x_n^2\), wo \(\nu\) kein Quadrat ist. Andererseits sei \(F\) das Feld aller rationalen Zahlen. Alsdann läßt sich die vorgelegte quadratische Form transformieren in eine solche von dem Typus \[ -\sum_{i=1}^8 x_i^2\, + \sum_{i=s+1}^{n-3} x_i^2\, + a x_{n-2}^2 + b x_{n-1}^2 + c x_n^2, \] wo, falls \(a,b,c\) sämlich negativ sind, \(s=0\) zu nehmen ist. Im Falle der Hermiteschen Formen liegt ein Feld \(F(w)\) zugrunde, wo \(w\) die Wurzel einer quadratischen Gleichung \(x^2+ux+v=0\) ist, die zu \(F\) gehört und in \(F\) irreduzibel ist. Jedes Element von \(F\) ist dann von der Gestalt \(e=a+bw\), wo \(a\) und \(b\) in \(F\) enthalten sind.

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