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On quadratic forms in a general field. (English) JFM 38.0182.02

Der Verf. untersucht die Äquivalenz zweier quadratischen Formen: \[ q\equiv\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}^{2}, \quad Q\equiv\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}X_{i}^{2} \quad \quad \quad (a_{1} \neq 0, \alpha_{i} \neq 0) \] bei einer linearen Transformation in einem allgemeinen Felde. Eine auf der Hand liegende notwendige Bedingung ist, daß\(a_{1}\) durch \(q\) darstellbar sein muß, daßnämlich in \(F\) solche Elemente \(b_{i}\)vorhanden sein müssen, daß\(\alpha_{1}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}^{2}\). Diese Bedingung werde als erfüllt vorausgesetzt. Bei Anwendung einer passenden Permutation der \(x_{i}\) kann man \(W_{k}\equiv\sum_{i=1}^{k}a_{i}b_{i}^{2} \neq 0\) setzen, wo \(k=1,\dots,n\). Mit Rücksicht auf Entwicklungen in \(\S\) 3 ist die Transformation \[ x_{i}=b_{i}y_{1}+W_{i-1}y_{i}-b_{i}\sum_{j=i+1}^{n}a_{j}b_{j}y_{j} \quad \quad \quad (i=1,\dots,n) \] eine, deren Determinante nicht verschwindet; sie führt \(q\) über in \(q'\equiv\alpha_{1}y_{1}^{2}+\sum_{j+2}^{n}a_{j}W_{j}W_{j-1}y_{j}^{2}\).
Nach einem Satze in \(\S\) 4 sind die Formen \(Q\) und \(q'\) (mit gleichen ersten Koeffizienten) in \(F\) äquivalent, wenn – und nur wenn: \[ (1) \quad \quad \quad \quad \sum_{i=2}^{n}\alpha_{i}X_{i}^{2}=\sum_{j=2}^{n}a_{j}W_{j}W_{j-1}y_{j}^{2} \] bei einer Transformation in \(F\) an \(n-1\) Variabeln. Also: Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Äquivalenz der beiden gegebenen \(n\)-ären quadratischen Formen \(q\) und \(Q\) sind die, daß\(\alpha_{1}\) durch \(q\) darstellbar ist, und daßdie \((n-1)\)-ären Formen (1) in \(F\) äquivalent sind. Die endgültigen Kriterien sind die, daß\(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}\) bzw. durch Formen in \(n,n-1,\dots,1\) Variabeln darstellbar sind, deren Koeffizienten gegebene Funktionen der \(a_{i}\) sind.

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