×

A theory of invariants. (English) JFM 40.0157.01

Sei \(f_i\), eine allgemeine Form in \(m\) Variabeln \(x\) vom Grade \(d_i\), so liege ein System \(S\) von \(s\) solchen Formen \(f_1,\dots,f_s\) vor, deren Koeffizienten willkürliche Parameter in einem gegebenen (endlichen oder auch unendlichen) Felde \(F\) sind. Ferner sei \(L\) irgend eine gegebene Gruppe von (linearen homogenen) Substitutionen der \(x\) mit Koeffizienten in \(F\). Indem man den Koeffizienten in \(S\) partikulare Feldwerte beilegt, mögen die partikularen Systeme \(S',S'',\dots,\) entstehen; diese lassen sich gegenüber \(L\) in Klassen \(C_i\) einteilen, sodaß \(S'\) und \(S''\) dann und nur dann derselben Klasse angehören, wenn sie in bezug auf \(L\) äquivalent sind. Dabei wird unter “Funktion” stets eine im Felde \(F\) eindeutige Verstanden.
Besitzt eine Funktion \(\varphi\), für jeden Wert von \(i\), denselben Wert \(v_i\), für alle Systeme der Klasse \(C_i\), so ist \(\varphi\) eine Invariante gegenüber \(L\).
Im Falle eines endlichen Feldes ist eine solche Invariante eine ganzrationale Funktion der Koeffizienten von \(S\).
Man nehme jetzt an, daß die Invarianten \(J_1,\dots, J_r\) die Klassen \(C_i\) vollständig charakterisieren, d. h. daß jedes \(J_k\) nur für identische Klassen denselben Wert annimmt. Dann erhält eine Invariante \(\varphi\) für jede Klasse einen und nur einen Wert, ist also eine einwertige Funktion der \(J_1,\dots,J_r\).
Im besonderen sei \(\varphi\) eine ganzrationale Funktion der Koeffizienten von \(S\), so folgt, daß eine solche eine ganzrationale Funktion der \(J_1,\dots, J_r\) ist.
Vermöge eines Interpolationsverfahrens wird dann ein Polynom in \(x, y, z, \dots\) konstruiert, das für eine endliche Anzahl verschiedener Wertreihen der Variabeln vorgeschriebene Werte annimmt.
Es liege nun ein Galoissches Feld \([p^n]\) mit-den \(p^n\) Elementen \(e_i\) vor. Dann wähle man die als “charakteristische” Invariante der Klasse \(C_k\), in dem Sinne, daß \(J_k\) für \(C_k\) gleich Eins wird, während sie für die übrigen Klassen verschwindet.
Dann läßt sich jede Invariante auf eine und nur eine Art darstellen als eine lineare homogene Funktion der charakteristischen Invarianten, und die Anzahl der linear unabhängigen Invarianten ist gleich der Klassenanzahl.
Setzt man an die Stelle von \(L\) die Gruppe \(G\) aller \(m\)-ären Substitutionen in \(F\), so werden die eingangs definierten Invarianten des Systems \(S\) zu absoluten, dagegen zu relativen vom Gewichte \(w\), wenn \(G\) ersetzt wird durch die Gruppe \(G_1\) aller Substitutionen von der Determinante Eins, und die Invariante gegenüber irgendeiner Substitution der Determinante \(\varDelta\) den Faktor \(\varDelta^w\) erhält. Im Falle \(F = [p^n]\) wird die Anzahl der (relativen und absoluten) linear unabhängigen Invarianten gleich der Anzahl der zu 4 gehörigen Klassen.
Kehren wir zu einer beliebigen Gruppe \(L\) zurück, so ist die Hauptaufgabe die Aufstellung eines “Fundamentalsystems” unabhängiger Invarianten – sodaß jede weitere eine einwertige Funktion jener wird – und einer vollständigen Reihe unabhängiger Relationen zwischen denselben.
Im Falle eines endlichen Feldes kann man diese Relationen finden, sobald man eine vollständige Reihe linear unabhängiger Invarianten kennt.
Diese allgemeinen Entwicklungen finden ihre Anwendung zunächst auf das Feld \(C\) aller reellen und komplexen Zahlen, in dem der Reihe nach folgende Einzelfälle untersucht werden: 1. Eine quadratische Form von \(m\) Variabeln; 2. eine binäre kubische Form; 3. ein Paar binärer quadratischer Formen. Der letztere Fall wird auch im Felde \([2^n]\) betrachtet; es wird hier eine vollständige Reihe von \(2^{3n+1}+2^{2n}\) linear unabhängigen Invarianten aufgestellt, und mit Hülfe derselben werden die verschiedenen kanonischen Typen des Formenpaares ermittelt. Sodann wird der Fall einer, resp. zweier quadratischen binären Formen auf das Feld \([p^n]\) \((p > 2)\) ausgedehnt.

PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI