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On the negative discriminants for which there is a single class of positive primitive binary quadratic forms. (English) JFM 42.0239.06

Für eine solche Diskriminante \(-P\) ist die Aufgabe der Darstellung von Zahlen durch eine binäre quadratische Form von der Diskriminante \(-P\) ganz elementar; außerdem ist die Zerlegung in Primzahlen in einem Körper von der Diskriminante \(-P\) nur auf eine Art möglich. Die einzigen derartigen Diskriminanten von der Form \(-4k\) sind die mit \(k=1,2,3,4,7\), wie von Gauß vermutet wurde nach einer Prüfung der Determinanten bis \(-3000\). Die vorliegende Note gibt praktische Kriterien und das Resultat einer Prüfung der Werte von \(P\) unter \(1\frac12\) Millionen. – Sätze: Es gibt eine einzige Klasse positiver primitiver quadratischer Formen von negativer Diskriminante – \(P\), wenn \(P=3,4,7,8,11,12,16,19,27,28,43,67,163\); aber mehr als eine Klasse, wenn \(P\) nicht eine dieser 13 Zahlen ist und nicht eine Primzahl von der Form \(120l+283\) oder \(120l+307,l\geqq0\). – Für \(163<P<1500000\) gibt es mehr als eine Klasse positiver primitiver quadratischer Formen von der Diskriminante – \(P\).

MSC:

11E12 Quadratic forms over global rings and fields
11E16 General binary quadratic forms
11E41 Class numbers of quadratic and Hermitian forms
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