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Recent progress in the theories of modular and formal invariants and in modular geometry. (English) JFM 45.0208.02

Proc. Natl. Acad. Sci. USA 1, 1-4 (1915).
Es wird auf drei Punkte näher eingegangen: auf den Begriff der modularen Invarianten, auf die Konstruktion der formalen Invarianten und auf die Theorie der ebenen modularen Kurven \(\mod 2\).
Bezüglich des ersteren wird auf den Unterschied zwischen algebraischen und modularen Invarianten hingewiesen. Der Verf. kritisiert die übliche Definition der algebraischen Invarianten, da sie den Fall identisch verschwindender Grundformen zu wenig berücksichtige, und erläutert das am Beispiele einer Linearform \(l=ax+by\). Er meint, anstatt zu sagen, \(l\) besitze keine Invarianten, müßte es heißen: Die Invarianten \(I(a, b)\) von \(l\) habe nach Maßgabe des Dirichletschen Funktionsbegriffes die Eigenschaft, gleich der Einheit zu sein für \(l=0\), und gleich Null, wenn \(l\) nicht identisch verschwindet.
Im zahlentheoretischen Falle, wo die Koeffizienten von \(l\) und der linearen Transformation ganze Zahlen \(\mod p\) sind, liegt die Sache einfacher. Es existiert die modulare Invarianten \(I=(a^{p-1}-1)(b^{p-1}-1)\), so daß \(I=1\) für \(a\equiv b\equiv 0 (\mod p)\), und \(I\equiv 0\), wenn \(a\) und \(b\) nicht beide der Null kongruent sind.
Die Theorie der formalen Invarianten geht auf A. Hurwitz zurück [Arch. der Math. u. Phys. (3) 5, 17–27 (1903; JFM 34.0223.02)]. Die Koeffizienten der Grundformen werden, wie im algebraischen Falle, als unabhängige Variable abgesehen, dagegen die Substitutionskoeffizienten ganzzahlig \(\mod p\).
Wie man solche Invarianten nach dem Vorgange des Verf. Zu konstruieren hat, zeige wiederum das Beispiel der Linearform \(l\) und der Modul 2. Die drei reellen Punkte (mit ganzzahligen Koordinaten) sind (1,0), (0,1), (1,1) in denen \(l\) die Werte \(a, b, a+b\) annimmt. Jede reelle Substitution permutiert die drei Punkte. Somit ist eine symmetrische Funktion der drei \(l\)-Werte eine formale Invariante von \(l\). So gelangt man zu den Invarianten \(i=a^2+ab+b^2, j=ab(a+b)\).
Spezialisiert man zu modularen Invarianten, indem \(a\) und \(b\) ganzzahlig \(\mod 2\) genommen werden, so kommt \(j\equiv 0, i\equiv I+1\), wo \(I\) die obige Invariante ist.
Für \(p=5\) tritt die eigentümliche Erscheinung ein, daß (1,0), (2,0), (3,0), (4,0) denselben Punkt liefern und doch die verschiedenen Werte \(a, 2a, 3a, 4a\) von \(l\). Um also eindeutige Invarianten zu erzielen, hat man mit den vierten Potenzen der Werte \(a, b, a+b\) zu operieren. Diese Konstruktionsmethode ist erheblicher Ausdehnungen fähig.
Drittens handelt es sich um ebene modulare Kurven \(n\)-ter Ordnung \(f(x, y, z)=0 \mod 2\). Ein Punkt, für den die drei ersten partiellen Ableitungen von \(f\) kongruent Null \(\mod 2\) sind, heißt ein “abgeleiteter”. Für gerades \(n\) ist ein solcher Punkt nicht notwendig ein singulärer Punkt der Kurve, da er nicht auf der letzteren zu liegen braucht, er heißt dann ein “apex” von \(f\), seine lineare Polare ist unbestimmt. So läßt sich ein eigentlicher Kegelschnitt auf die Normalform \(x^2+gz=0\) bringen. Der einzige abgeleitete Punkt ist \(p=(1,0)\), und zwar ein apex.
Der nächste Fall \((n=4)\) mit apices bietet andere Eigentümlichkeiten dar; die Kurve \(C_4\) hat höchstens (und im allgemeinen) 7 Doppeltangenten. Solche schneiden sich in abgeleiteten Punkte und umgekehrt.
Eine \(C_4\) mit allen 7 reellen Punkten läßt sich auf eine einfache Normalform bringen; sie besitzt keinen singulären Punkt, dagegen 7 apices und 7 Doppeltangenten.
Bei einer \(C_3\) können (höchstens) 7 reelle Punkte existieren; ihre Normalform ist \(x^2y+xy^2=0\). Im ganzen existieren 21 Typen nichtäquivalenter \(C_3\); sie lassen sich vollständig charakterisieren durch die Anzahlen der reellen Punkte, der reellen Wendepunkte sowie der reellen und imaginären singulären Punkte. An die Stelle der Hesseschen Kurve im algebraischen Falle tritt eine analoge Kurve \(K_3=0\); \(K_3\) selbst ist keine Kovariante, bildet aber mit \(C_3\) ein kovariantes Büschel.
Bezüglich der \(C_4\) und \(C_3\) sei auch auf die Sonderreferate im laufenden Jahrgange der F. d. M. hingewiesen.

MSC:

14-XX Algebraic geometry

Citations:

JFM 34.0223.02