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Invariantive theory of plane cubic curves modulo 2. (English) JFM 45.0210.03

Gordan (F. d. M. 31, 589 (JFM 31.0589.*), 1900) hat die ebenen Kurven dritter Ordnung in der gewöhlichen Geometrie in zehn projektiv inäquivalente Typen eingeteilt und sie durch In- und Kovarianten charakterisiert. Es handelt sich hier um die entsprechende Aufgabe in der modularen Geometrie, indem wiederum \(\mod 2\) äquivalente Formen je derselben Klasse zugewiesen werden; eine Vereinfachung tritt insofern ein, als die 22 verschiedenen Typen lediglich durch Invarianten charakterisierbar sind. Das Haupthülfsmittel ist das Aufsuchen der “reellen” Punkte (d. h. mit ganzzahligen Koordianten) auf den verschiedenen Kurven, insbesondere der reellen Wendepunkte und der reellen (und imaginären) singulären Punkte. Diese Wendepunkte und singulären Punkte werden aus der Kurve dritter Ordnung \(u=0\) ausgeschnitten durch eine andere Kurve dritter Ordnung \(H=0\), wo die Form \(H\) eine analoge Rolle spielt, wie die Hessesche Form in der algebraischen Theorie; \(H\) ist eine Kovariante von \(u\) gegenüber beliebigen Vertauschungen der Variabeln. Die transformierte Form \(H'\) ist von der Gestalt \(H+\lambda u \mod 2\). Das Gleichungssystem \(u=0, H=0\) ist invariant gegenüber der Gruppe aller linearen Transformationen mit ganzzahligen Koeffizienten \(\mod 2\).
Zwei Kurven dritter Ordnung \(u, v\) sind gegenüber \(G\) dann und nur dann äquivalent, wenn sie in der Anzahl der reellen Punkte, der reellen Wendepunkte und der reellen wie imaginären singulären Punkte übereinstimmen. Es werden die verschiedenen möglichen Fälle von \(v=0,1,\dots,7\) einzeln durchdiskutiert.
Die Gruppe \(G\) vertauscht die reellen Punkte \(1,\dots,7\). Es lassen sich gewisse Grundelemente angeben, deren symmetrische Funktionen formale Invarianten \(\mod 2\) sind. Unter ihnen läßt sich eine endliche Anzahl so auswählen, daß die übrigen ganzrational durch sie darstellbar sind; mittels der ersteren werden die 22 Typen der \(u\) charakterisiert. Am Schlusse werden noch imaginäre Transformationen zugelassen; die Anzahl der Typen reduziert sich alsdann auf 10, die mit den von Gordan aufgestellten übereinstimmen.

Citations:

JFM 31.0589.*
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