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The straight lines on modular cubic surfaces. (English) JFM 45.0212.02

Proc. Natl. Acad. Sci. USA 1, 248-253 (1915).
Eine erste Klassifikation der kubischen Flächen \(\mod 2\) wird durch die Anzahl \(N\) ihrer reellen Punkte (d. h. ganzzahligen Koordinaten) gegeben. Die Anzahl \(N\) ist stets ungerade, und es existieren Flächen mit resp. \(1, 3, \dots, 15\) reellen Punkten. Es kommt nur auf die nichtäquivalenten Reihen von \(N\) Punkten an gegenüber linearen Transformationen mit ganzzahligen Koeffizienten \(\mod 2\). Entsprechend heißt eine Gerade auf der reell, wenn die Koeffizienten ihrer Gleichungen ganzzahlig sind. Die Anzahlen der reellen Geraden auf der Fläche (ohne singuläre Punkte), die ein zweites Klassifikationsprinzip liefern, sind resp. \(15, 9, 5, 3, 2, 1, 0\), während im gewöhnlichen Raume eine solche Fläche 27 Gerade enthält, von denen resp. \(27, 25, 7, 3\) reell sind.
Hinsichtlich der 45 Triaden von Geraden, die in den 45 Tritangentialebenen liegen, tritt im modularen Raum ein eigentümlicher Unterschied ein; während dort keine der drei Geraden durch einen Punkt laufen, kann das hier sehr wohl vorkommen, wodurch das Klassifikationsprinzip noch eine schärfere Begrenzung erfährt.
Es werden alle möglichen Typen von kubischen Flächen, jeweils mit ihren reellen Punkten und reellen, inzidenten und nicht inzidenten Geradentriaden durchdiskutiert.
Einzelne Typen werden durch geeignete numerische Repräsentanten markiert. Es mag genügen, einige interessante Fälle anzuführen.
So existiert eine Fläche mit 15 reellen Punkten und 15 reellen Geraden. Die Geraden bilden 15 Triaden inzidenter; ihre Ebene ist die Berührungsebene im Treffpunkte.
Auf einer andern Fläche existieren 27 Gerade mit 45 solchen Triaden.
Auf einer dritten Fläche sind genau 9 Gerade reell; man hat 32 Triaden, von denen 13 die Inzidenzeigenschaft besitzen.
Wegen weiterer Einzelheiten ist auf die Arbeit selbst zu verweisen.

MSC:

14-XX Algebraic geometry