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Körper und Systeme rationaler Funktionen. (German) JFM 46.1442.08

Es handelt sich um Basisfragen bei beliebigen Systemen rationaler und ganzer rationaler Funktionen von endlich vielen Unbestimmten. Und zwar wird allgemein die Existenz der Rationalbasis bewiesen, während weiter auf dieser Grundlage Klassen von Integritätsbereichen aus Polynomen – reguläre Bereiche – angegeben werden, für die eine Integritätsbasis existiert; die letzteren Überlegungen werden noch auf ganzzahlige Bereiche übertragen. Daßnicht für jeden Polynombereich eine Integritätsbasis existiert, hat bekanntlich schon Hilbert an Beispielen gezeigt.
Die angewandten Methoden sind die der Körpertheorie; das hauptsächlichste Hilfsmitel ist ein Übertragungsprinzip, demzufolge man sich auf Bereiche beschränken kann, bei denen die Anzahl der Unbestimmten und die der algebraisch- unabhängigen Funktionen übereinstimmt; jedem System läßt sich nämlich ein so speziallsiertes isomorph zuordnen. Ein regulärer Bereich ist dann dadurch charakterisiert, daßihm mindestens ein Bereich ohne “Fundamentalpunkt” isomorph zugeordnet werden kann, d, h, ein bei dem  die Glieder höchster Dimension aller Polynome keine gemeinsame Nullstelle besitzen. Speziell für Körper läßt sich stets eine ausgezeichnete Rationalbasis angeben, “Involutionsbasis”, die gegeben ist durch die Koeffizienten Fundamentalgleichung Körpers aller rationalen Funktionen in bezug auf den auf den gegebenen Körper, bzw. einen ihm isomorph zugeordneten. Diese Involutionsbasis geht für den Fall, daßder reguläre Polynombereich Körpereigenschaft besitzt, d. h. aus allen Polynomen eines Körpers besteht, eine ausgezeichnete Integritätsbasis dieses Bereiches über; im allgemeinen liefert sie nur eine Darstellung mit der Potenz eines festen Polynoms im Nenner.

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References:

[1] Vgl. eine vorläufige Mitteilung gelegentlich der Wiener Naturforscherversammlung: Rationale Funktionenkörper?Jahresber. d. D. Math.-Ver. 22 (1913) ?, wo ein Überblick über die Fragestellungen und die die Funktionenkörper betreffenden Resultate gegeben ist.
[2] E. Steinitz, Algebraische Theorie der Körper, § 24, Crelles Journ. 137 (1909). · JFM 41.0445.03
[3] Vgl. etwa Weber, Lehrbuch d. Algebra I, § 144 (1. Aufl.) oder § 55 (kleine Ausgabe).
[4] J. Lüroth: Beweis eines Satzes über rationale Kurven, Math. Ann. 9 (1875). ?G. Castelnuovo: Sulla razionalità delle involuzioni piane, Math. Ann. 44 (1893).?F. Enriques: Sopra una involuzione non razionale dello spazio, Rend. Acc. Linc., Vol. 21, 21. Jan. 1912.
[5] A. a. O § 24. J. Lüroth: Beweis eines Satzes über rationale Kurven, Math. Ann. 9 (1875).
[6] D. Hilbert: Mathematische Probleme. Vortrag Paris 1900. Problem 14 (Göttinger Nachrichten 1900). · JFM 31.0068.03
[7] Vgl. etwa J. König: Einleitung in die allgemeine Theorie der algebraischen Größen (Leipzig, B. G. Teubner, 1903), Kap. IX, § 2 oder Weber (kleine Ausgabe), § 20.
[8] D. Hilbert: Über die vollen Invariantensysteme, Math. Ann. 42 (1893), § 1. (Der dort nur fürhomogene Polynome ausgesprochene Hilfssatz gilt ebenso fürinhomogene.)
[9] Zur Resultantentheorie vgl. F. Mertens, Zur Theorie der Elimination (L u. II. Teil), Sitzungsber. d. k. Ak. d. Wiss. Wien, Math.-naturw. Kl. Abt. IIa, Bd. 108 (1899). (Teilweise wiedergegeben bei J. König, Theorie d. algebr. Größen, Kap. VI).
[10] Mertens, a. a. O. § 5. · Zbl 0122.29503
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