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Concerning the separation of point sets by curves. (English) JFM 51.0459.04

Der Satz von Zoretti (1905; F. d. M. 36, 451 (JFM 36.0451.*)-453), daß jede Komponente \(K\) einer abgeschlossenen Menge \(M\) (in sinnstörender Weise steht bei Moore “Kontinuum \(M\)”) von einer einfach zusammenhängenden Kurve \(J\) eingeschlossen werden kann, so daß \(J\) keinen Punkt von \(M\) enthält und jeder Punkt von \(J\) unter einem beliebig vorgegebenen Abstand \(e\) von \(K\) entfernt ist. wird dahin erweitert, daß auch jeder Punkt innerhalb \(J\) von \(K\) weniger als \(e\) entfernt ist, wenn \(M\) in einer Ebene liegt und diese von \(K\) nicht geteilt wird.
Als weiterer Satz folgt hieraus für zwei abgeschlossene, zusammenhängende Mengen \(K\) und \(H\), von welchen keine die Ebene teilt, und deren gemeinsame Punkte eine punkthafte Menge \(T\) bilden, während \(K\)— \(T\) zusammenhängend ist, daß es eine einfach zusammenhängende Kurve gibt, die \(T\) enthält, aber keinen Punkt von \((H+ K)\) — \(T\), die \(K\)— \(T\) einschließt, aber keinen Punkt von \(H\)— \(T\).
Letztere Forderung gestaltet den Beweisgang etwas umständlich. Zum Beweise wird eine Überdeckung von \(K\)— \(T\) mit einer Folge kreisförmiger Gebiete, die keinen Punkt von \(H\)— \(T\) enthalten, gewählt, die \(T\) zu Häufungspunkten hat. Die abgeschlossene Summe dieser Gebiete hat als Komplementärmenge ein Gebiet, dessen \(K\)— \(T\) einschließende Berandung die gestellte Bedingung erfüllt.
Als weitere Anwendung ergeben sich die Sätze: 1. Ein Punkt \(P\) der Berandung eines einfach zusammenhängenden Gebiets \(D\) ist in \(D\) erreichbar, wenn es ein Kontinuum gibt, welches \(P\) enthält und außerdem ganz in \(D\) liegt.
2. Eine abzählbare Menge punktfremder unbegrenzter Kontinua, von denen keines die Ebene teilt, und deren Summe \(N\) abgeschlossen ist, kann durch eine offene Kurve, die keinen Punkt von \(N\) enthält, in zwei Teile getrennt werden, wenn es zwei einfache Bögen gibt, die nur je einen Punkt von \(N\) enthalten, wobei diese beiden Punkte verschiedenen Kontinua angehören.

Citations:

JFM 36.0451.*
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