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Covering theorems. (English) JFM 52.0197.03

\(F\) sei eine beschränkte Menge des euklidischen \(R^n\), \(G\) eine Menge von offenen Vollkugeln (für \(n = 1\) Intervallen) des \(R^n\). \(G\) bildet eine Bedeckung der Menge \(F\) “im Sinne von Vitali”, wenn jeder Punkt \(p\) von \(F\) in einer beliebig kleinen Vollkugel von \(G\) enthalten ist. Für \(n = 1\) gilt bekanntlich: Wenn \(F\) abgeschlossen und vom Maße Null ist, kann man bei vorgegebenem \(\varepsilon\) (\({}> 0\)) aus jeder Vitalischen Bedeckung \(G\) von \(F\) eine \(F\) bedeckende Teilmenge \(G_\varepsilon\) auswählen, so daß die Summe der Intervalllängen von \(G_\varepsilon\) kleiner als \(\varepsilon\) bleibt (J. Splawa-Neyman, Fundamenta 5 (1924), 219-220); ist \(F\) nicht abgeschlossen, so ist die Auswahl von \(G_\varepsilon\) nicht immer möglich (R. L. Moore, Proceedings USA Academy 10 (1924), 464-467; F. d. M. 50, 131 (JFM 50.0131.*)). Für \(n \geqq 2\) gilt dieser Satz, wie Splawa-Neyman bemerkt hat, nicht allgemein, aber er ist jedenfalls richtig, wenn in \(G\) zu jedem \(p\) von \(F\) beliebig kleine Vollkugeln mit dem Mittelpunkt \(p\) existieren. Verf. zeigt, daß dieser Satz für beliebiges \(n\) (der von Splawa-Neyman ohne Beweis angegeben worden ist) in zwei Richtungen verallgemeinert werden kann: (1) die Forderung der Existenz beliebig kleiner Vollkugeln mit dem Mittelpunkt \(p\) kann durch folgende ersetzt werden: Es gibt eine Konstante \(k\) (\(0 < k < 1\)), so daß es zu jedem \(p\) von \(F\) und jedem \(\varepsilon\) (\({}> 0\)) in \(G\) eine Vollkugel von einem Radius \(r < \varepsilon\) gibt, von deren Mittelpunkt \(p\) um weniger als \(kr\) entfernt ist; (2) die Menge \(F\) braucht nicht als abgeschlossen vorausgesetzt zu werden. – Schließlich gibt Verf. noch einen speziellen Satz für den eindimensionalen Fall (ohne die Mittelpunktforderung für die Intervalle von \(G\)), bei dem die Abgeschlossenheit von \(F\) nicht vorausgesetzt wird; ferner ein Beispiel dafür, daß der Satz für \(n = 1\) bei Bedeckungen durch abgeschlossene Intervalle nicht richtig ist. (IV 3 C.)

Citations:

JFM 50.0131.*
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