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Concerning indecomposable continua and continua which contain no subsets that separate the plane. (English) JFM 52.0600.04

Verf. stellt unter recht verschiedenartigen Voraussetzungen eine Reihe von Sätzen über unzerlegbare Kontinua und Zerlegung der Ebene auf. Allgemein gilt: Ein unzerlegbares Kontinuum wird durch eine Teilmenge eines echten Teilkontinuums nie zerlegt. – Ist \(K\) ein kompaktes Kontinuum in einem regulären \(S^*\)-Raum, d. h. in einem regulären Fréchetschen \(S\)-Raum, in dem der Durchschnitt eines monotonen Systems von kompakten abgeschlossenen Mengen niemals leer ist und daher, wie Verf. früher bewiesen hat (Proceedings USA Academy 5 (1919), 206-210; F. d. M. 47, 896 (JFM 47.0896.*)), der Heine-Borelsche Satz gilt, so folgt auf Grund eines Lemmas genau nach der Schlußweise Janiszewskis (Journ. Ecole polytechn. 16 (1912), 79-170; F. d. M. 43, 567 (JFM 43.0567.*)): Zu zwei verschiedenen Punkten \(A\), \(B\) von \(K\) gibt es ein von \(A\) nach \(B\) irreduzibles Teilkontinuum von \(K\). – Ist der \(S^*\)-Raum “zweidimensional” in dem Sinne, daß (a) die Vereinigungsmenge zweier Kontinua, die einzeln den Raum nicht zerlegen, den Raum dann und nur dann zerlegt, wenn der Durchschnitt der beiden Kontinua weder leer noch zusammenhängend ist, und (b) je zwei Punkte des Raumes zugleich in zwei Kontinuen enthalten sind, deren Durchschnitt nicht zusammenhängend ist, so gilt für ein kompaktes Kontinuum \(K\), das kein den Raum zerlegendes Teilkontinuum enthält: Zu zwei Punkten \(A\), \(B\) von \(K\) gibt es genau ein von \(A\) nach \(B\) irreduzibles Teilkontinuum von \(K\). Ist \(G\) eine Menge von Teilkontinuen von \(K\) derart, daß für jedes Kontinuum \(C\) von \(G\) in \(K\) – \(C\) ein \(A\) und \(B\) enthaltendes Kontinuum existiert, so gibt es auch in K – \(\sum C \, \, (C \in G)\) ein \(A\) und \(B\) enthaltendes Kontinuum. – Schließlich werden noch zwei Sätze über Kontinua in der euklidischen Ebene bewiesen: \(M\) sei ein ebenes beschränktes Kontinuum, das kein unzerlegbares die Ebene zerlegendes Teilkontinuum enthält; dann und nur dann wird die Ebene durch \(M\) nicht zerlegt, wenn der Durchschnitt je zweier Teilkontinua von \(M\) entweder zusammenhängend oder leer ist. Ist \(M\) ein unzerlegbares beschränktes Kontinuum, \(G\) eine oberhalb stetige Menge von abzählbar vielen paarweise fremden Teilkontinuen von \(M\), von denen keines \(M\) zerlegt, so wird \(M\) durch die Vereinigungsmenge der Kontinua von \(G\) auch nicht zerlegt.

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