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A necessary and sufficient condition for the non-equivalence of any two rational generalized quaternion division algebras. (English) JFM 56.0145.03

Es wird zunächst bewiesen, daß zwei Quaternionenkörper \(\mathfrak{A}\), \(\mathfrak{B}\) mit rationalem Zentrum einen gemeinsamen quadratischen Teilkörper besitzen. Etwa so: Man bildet die Differenz Norm \(a\) minus Norm \(b\), wo \(a\), \(b\) die Zahlen der Spur Null aus \(\mathfrak{A}\), \(\mathfrak{B}\) durchlaufen; das ist eine rationale indefinite quadratische Form von mehr als vier Variablen, stellt also nach der Theorie der quadratischen Formen die Null rational dar. (Der Beweis funktioniert auch in algebraischen Zahlkörpern.) Damit ist dann die Frage nach der Äquivalenz von \(\mathfrak{A}\) und \(\mathfrak{B}\) auf ein gelöstes Problem -Darstellbarkeit einer Zahl durch die Normenform eines quadratischen Körpers – zurückgeführt.

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