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The zeros of certain integral functions. (English) JFM 56.0973.02

Verf. betrachtet Funktionen der Gestalt \[ f(z) = \int\limits_a^b e^{zt}\varphi(t)\,dt, \] wobei \(\varphi (t)\) in \(a\) und \(b\) stetig und von Null verschieden ist. Die Untersuchungen schließen an an Arbeiten von G. H. Hardy (Proceedings L. M. S. (2) 2 (1905), 401-431; F. d. M. 36, 473), G. Pólya (M. Z. 2 (1918), 352-383; F. d. M. 46, 510 (JFM 46.0510.*)) und E. C. Titchmarsh (Proceedings L. M. S. (2) 25 (1926), 283-302; F. d. M. 52, 334 (JFM 52.0334.*)); die Hauptergebnisse sind folgende: Ist \(\varphi(t)\) von beschränkter Variation, so liegen alle Nullstellen von \(f (z)\) in einem gewissen Streifen \(|\operatorname{Re} z| < \varkappa\); die Anzahl \(n(\varrho)\) der Nullstellen von \(f (z)\) für \(| z | \leqq\varrho\) ist für große \(\varrho\) durch \[ n(\varrho) = \frac{2\varrho}\pi + O(1) \] gegeben. Ferner ist \[ N(\varrho) = \int\limits_0^\varrho \frac{n(u)}u\,du = \frac{2\varrho}\pi -\log \varrho-\log | f(0) | + o(1). \] Die beiden letzten Ergebnisse entstehen durch eine passende Umformung der Jensenschen Formel.
Entsprechende Sätze können bewiesen werden, wenn \(\varphi(t)\) als stetig vorausgesetzt werden kann.

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