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Foundations of point set theory. (English) JFM 58.0637.02

Während die axiomatischen Untersuchungen der mengentheoretischen Topologie in der Mehrzahl das Ziel haben, eine schrittweise Annäherung an die Geometrie der Teilmengen des Hilbertschen Raumes, insbesondere der kompakten, zu erreichen, oder, wie die Fréchets, die axiomatischen Grundlagen für allgemeine Begriffsbildungen der Analysis klären sollen, will dieses Buch eine axiomatische Begründung der Topologie der Ebene geben, und zwar speziell jener Fragen, die durch die Stichwörter Zusammenhang, Gebietsgrenze, Kontinuum, stetige Kurve, stetige Zerlegungen umschrieben werden. (Vgl. hierzu eine Arbeit des Verf. aus dem Jahre 1916 (F. d. M. 46, 828 (JFM 46.0828.*)), die man wohl als Beginn systematischer Forschung in der angedeuteten Richtung in den USA ansehen kann.) Daßdas Axiomensystem, auf dem die Darstellung aufbaut, in seiner Gesamtheit von denen, die sich in der Theorie der topologischen Räume eingebürgert haben, abweicht, liegt in der Natur der Sache. Doch hätte sich wohl durch Auflösung des verwickelten Axioms I, in dem verschiedene Elemente der Axiomatik der topologischen Räume miteinander verquickt sind, in einfachere Bestandteile eine Annäherung an jene Axiome erreichen lassen. Das hätte den Zugang zu dem Buch, das mit seinen mehr als veirhundert Sätzen und Beweisen, deren Folge nur gelegentlich von Beispielen zur genaueren Abgrenzung einzelner Ergebnisse unterbrochen wird, eine vollständige und zur Zeit die einzige Darstellung des angedeuteten Gebietes ist, wohl etwas erleichtert.
Grundbegriffe des Axiomensystems, das den Raum \(S\) definiert, sind Punkte und Regionen (wir übernehmen das Wort “region”, das dem Umgebungsbegriff entspricht, wenn man die Region als Umgebung jedes ihrer Punkte auffaßt). Verf. formuliert als Axiom 0: Jede Region ist eine Punktmenge, und definiert dann Häufungspunkte und die daraus abgeleiteten Begriffsbildungen. Das Axiom 1 lautet: Es gibt eine Folge \(G_1, G_2,\dots \) von Mengen von Regionen mit folgenden Eigenschaften: (a) Für jedes \(n\) überdecken die Elemente von \(G_n\) den Raum \(S\). (b) \(G_{n+1}\) ist eine Teilmenge von \(G_n\). (c) Ist \(R\) irgendeine Region und sind \(X, Y\) (nicht notwendig verschiedene) Punkte von \(R\), so gibt es einen Index \(m\), derart daßfür jedes \(g\in G_m\) mit \(X\in g\) gilt: \(\overline g\subset (R-Y)+X\) (\(\overline g\) abgeschlossene Hülle von \(g\)). (d) Ist \(M_1\supset M_2\supset \cdots \) eine Folge von abgeschlossenen Mengen, derart daßes für jedes \(n\) ein \(g_n\in G_n\) mit \(\overline g_n\supset M_n\) gibt, so ist der Durchschnitt der Folge \(M_n\) nicht leer. - Unter den allgemeinen topologischen Eigenschaften \(S\), die daraus abgeleitet werden, kommen vor: ein Satz, der etwa dem ersten Abzählbarkeitsaxiom entspricht (Satz 2), eine starke Trennbarkeitseigenschaft (für je zwei abgeschlossene Mengen, von denen eine kompakt ist - Satz 23) und der Heine-Borel-Lebesguesche Satz für abgeschlossene und kompakte Mengen (Satz 22). Von den spezielleren Sätzen über zusammenhängende Mengen und Kontinua und deren Zerlegung durch Teilmengen seien erwähnt: die Existenz eines von \(H\) nach \(K\) irreduziblen Teilkontinuums in jedem die fremden abgeschlossenen Mengen \(H\), \(K\) verbindenden Kontinuum, die Eigenschaften des einfachen Bogens und der einfach geschlossenen Kurve auf Grund einer Definition durch die Zerlegungseigenschaften ihrer Punkte.
Axiom 2: Jeder Punkt \(P\) einer Region \(R\) ist in einem in \(R\) enthaltenen Gebiet (zusammenhängende offene Menge) enthalten. Es zieht die Verbindbarkeit je zweier Punkte eines Gebiets durch einen einfachen Bogen nach sich. An neuen Begriffsbildungen kommen daher hinzu: die Erreichbarkeit (die vorläufig nicht ausgenutzt wird) und der Zusammenhang im kleinen, somit die stetigen Kurven. Deren Struktur wird bis zu ihrem Aufbau aus zyklischen Elementen weiter verfolgt.
Die Axiome 3 und 4 bringen einschneidende Forderungen in Richtung auf die Geometrie der Ebene. Axiom 3 besagt: \(S\) wird durch keinen seiner Punkte zerlegt, und Axiom 4: Jede einfach geschlossene Kurve zerlegt \(S\) in zwei voneinander getrennte zusammenhängende Mengen, deren gemeinsame Grenze sie ist. Hieraus kann man etwa diejenigen Folgerungen über die Zerlegung von \(S\) durch eine oder mehrere gegebene einfach geschlossene Kurven ziehen, die sich in der Topologie der Ebene aus der Bertrachtung der Umlaufzahl ergeben. Dagegen fehlen noch Existenzaussagen für einfach geschlossene Kurven, die \(S\) in bestimmter Weise, etwa zwischen zwei gegebenen Punkten, zerlegen. Dazu dient Axiom 5: \(A\) sei ein Punkt einer Region \(R\), \(B\) ein von \(A\) verschiedener Punkt; dann gibt es in \(R\) eine einfach geschlossene Kurve, die \(A\) von \(B\) trennt. Die daraus fließenden Existenzsätze ermöglichen auch die Untersuchung der Zerlegung von \(S\) durch Kontinua; so ergeben sich z. B. die Janiszewskischen Sätze über die Zerlegungseigenschaften der Vereinigungsmenge zweier Kontinua; ferner Sätze über Erreichbarkeit von Gebietsgrenzen; allseitige Erreichbarkeit und andere Eigenschaften zur Kennzeichnung stetiger Kurven unter den Gebietsgrenzen.
Die sogenannten “upper semicontinuous collections” von Kontinuen, und besonders diejenigen von paarweise fremden Kontinuen (sie entsprechen den von Alexandroff eingeführten stetigen Zerlegungen), werden unter verschiedenen axiomatischen Annahmen untersucht - angefangen bei einer Modifikation 1’ des Axioms 1 bis zu dem noch zu nennenden Axiom 6. Bekanntlich sich die stetigen Zerlegungen von \(S\) Originalmengen der Punkte bei stetigen Abbildungen von \(S\) (Bildraum ist der durch die upper semi-continuous collection definierte Raum, der Zerlegungsraum nach Alexandroff). Die Fragestellung ist also: Man soll einerseits aus der topologischen, insbesondere kurventheoretischen Struktur des Raumes und der in der Zerlegung auftretenden Kontinuen auf die des Bildraumes, andererseits aus der Struktur des Bildraumes und der Zerlegungskontinuen auf die des Originalraumes schließen.
Das endgültige Axiomensystem besteht aus den Axiomen 0 bis 4, zwei Axiomen \(5_1\) und \(5_2\), die zusammen 5 ersetzen, sowie Axiom 6: Ein kompaktes Kontinuum trennt niemals zwei nicht kompakte Mengen, sowie Axiom 7: Existenz einer abzählbaren Basis der offenen Mengen. Je nachdem ob man die Forderung der Kompaktheit oder Nicht-Kompaktheit des Raumes hinzufügt, entsteht die Topologie der Kugel oder die der Ebene. Das wird z. B. für den Fall der Ebene durch Konstruktion zweier Scharen von einfachen offenen Kurven, die sich topologisch wie zwei Parallelenscharen der Ebene verhalten, gezeigt.

Citations:

JFM 46.0828.*