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On universal sets of positive ternary quadratic forms. (English) JFM 59.0181.04

In der vorstehend besprochenen Arbeit hatte Verf. die Frage behandelt, welche positiven ganzen Zahlen sich durch die Formen des Systems \(\sum (d)\) (Menge aller positiv definiten ternären quadratischen ganzzahligen Formen der Determinanten \(d\)) darstellen lassen. Hier nun untersucht er, welche Systeme aus solchen \(\sum (d)\) alle positiven ganzen Zahlen darstellen (universale Mengen), und welche Systeme mit dieser Eigenschaft minimal sind (Ketten). Er beweist: Eine Menge von \(\sum (d_i),\;(i = 1,\ldots,n)\), ist dann und nur dann universal, wenn sie den folgenden Bedingungen genügt: Es sei \(d_i = \gamma _i^2 \delta _i, \delta _i\) quadratfrei, \(\delta = \delta _i \varepsilon _i\) das kleinste gemeinsame Vielfache der \(\delta _i\); dann gibt es ein Paar von Indices \(i,j\) derart, daßentweder \[ \varepsilon _i \not \equiv \varepsilon _j \pmod {8} \] oder \[ \varepsilon _i \equiv \varepsilon _j \pmod {8};\;\delta _i \not \equiv \delta _j \equiv \gamma _i \equiv 0 \pmod {p} \] für irgend eine Primzahl \(p\). Ist diese Bedingung erfüllt, so bilden \(\sum (d_i)\) und \(\sum (d_j)\) bereits eine Kette, und jede Kette ist von dieser Art. Für nich unversale Mengen von \(\sum (d_i)\) werden die Zahlen, die nicht dargestellt werden, genau charakterisiert.
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