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On analytic functions regular in the unit circle. (English) JFM 59.0325.01

Die Funktion \[ f(z)=f(re^{i\vartheta })=u(r,\vartheta )+iv(r,\vartheta ) \] sei für \(| z| <1\) regulär. Es handelt sich um die asymptotische Abschätzung von \[ M(r)=\underset {| z| \leqq r} {\text{Max}}| f(z)| \] für \(| z| <1\), wenn man das Wachstum von \(u_{+}(r,\vartheta )\) kennt. Dabei ist \(u_{+}=u\) für \(u>0\), sonst \(=0\) gesetzt.
Mit Hilfe der bekannten Carathéodoryschen Ungleichung für Funktionen positiven Realteils und der Phragmén-Lindelöfschen Sätze wird bewiesen: Aus \[ u_{+}(r,\vartheta )=O\left ( \frac {1}{(1-r)^{\alpha }}\right ) \] folgt \[ \begin{gathered} M(r)=O\left (\frac {1}{1-r}\right ) \quad \text{für} \quad 0<\alpha <1,\\ M(r)=O\left ( \frac {1}{1-r}\log ^2\frac {1}{1-r}\right ) \quad \text{für} \quad \alpha =1 \end{gathered} \] und \[ M(r)=O\left ( \frac {1}{(1-r)^{\alpha }}\right ) \quad \text{für} \quad \alpha >1. \] Vorher wird noch gezeigt, daßaus \[ | u(r,\vartheta )| =O\left ( \frac {1}{(1-r)^{\alpha }}\right ) \] leicht \[ M(r)=O\left ( \frac {1}{(1-r)^{\alpha }}\right ) \] folgt. Dies wird mit dem Poissonschen Integral bewiesen.

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