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On analytic functions regular in the unit circle. II. (English) JFM 61.0308.02

Es sei \[ f(z) = f(re^{i\vartheta}) = u(r,\vartheta) + iv(r,\vartheta) \] für \(|z| = r < 1\) regulär. In Verallgemeinerung der Untersuchungen der ersten Mitteilung (Quart, Journ. of Math. (Oxford series) 4 (1933), 246-257; F. d. M. \(59_{\text I}\), 434) wird aus der Ungleichung \[ M_p(r,u_+)=\left\{ \frac1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}|u_+(r,\vartheta)|^pd\vartheta\right\}^{\frac1p} <A(1-r)^{-\alpha}\qquad (p>0, \;0<r<1) \] auf die Größenordnung der Mittelwerte \(M_q(r, f)\) geschlossen.
Satz I: \(p\geqq 1\), \(\alpha>1\). \[ M_p(r,f)<K(\alpha,p)A(1-r)^{-\alpha}. \]
Satz II: \(p\geqq 1\), \(\alpha > 0\), \(q\geqq 1\). \[ \begin{gathered} M_q(r,f)<K(\alpha,p,q)A(1-r)^{-\alpha-1+\frac1q}, \quad\text{wenn} \;\frac1p+\frac1q\geqq 1; \\ M_q(r,f)<K(\alpha,p,q)A(1-r)^{-\alpha-\frac1p},\quad \text{wenn} \;\frac1p+\frac1q<1, \;\alpha+\frac1p>1; \\ M_q(r,f)<K(\alpha,p,q)A(1-r)^{-1}\{\log(1-r)\}^2, \quad \text{wenn} \;\frac1p+\frac1q<1, \;\alpha+\frac1p=1; \\ M_q(r,f)<k(\alpha,p,q)A(1-r)^{-1},\quad \text{wenn} \;\frac1p+\frac1q<1, \;\alpha+\frac1p<1. \end{gathered} \]
Satz III: \(0 < p\leqq 1\), \(\alpha>0\). \[ \begin{gathered} M_q(r,f)<K(\alpha,p,q)(1-r)^{-\alpha-\frac1p+\frac1q}, \;q\geqq 1.\\ M_q(r,f)<K(\alpha,p)(1-r)^{-\alpha-\frac1p+1}, \;q\leqq 1. \end{gathered} \]

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