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Differentiable manifolds in euclidean space. (English) JFM 61.0624.02

Proc. Acad. USA 21, 462-464 (1935).
Die \(n\)-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit \(M\) sei mit einem System von Umgebungen \(U_1, U_2,\ldots\) überdeckt, deren jede dem Inneren einer euklidischen Kugel homöomorph ist; in jeder \(U_i\) sei ein euklidisches Koordinatensystem ausgezeichnet, und wo zwei solche Systeme übereinandergreifen, sei die Koordinatentransformation \(r\)-mal stetig differenzierbar mit nicht verschwindender Funktionaldeterminante; dann heißt \(M\) “\(r\)-mal differenzierbar” oder “von der Klasse \(C^r\)”. Nach zwei vorbereitenden Sätzen wird insbesondere der folgende Satz ausgesprochen: Jede \(m\)-dimensionale Mannigfaltigkeit (geschlossen oder offen) von der Klasse \(C^r\) \((r\geqq 1)\) ist einer analytischen Mannigfaltigkeit \(M'\) des euklidischen Raumes \(R^{2m+1}\) homöomorph, und zwar derart, daß die topologische Abbildung von \(M\) auf \(M'\) \(r\)-mal differenzierbar ist. Dabei heißt die im \(R^n\) gelegene \(m\)-dimensionale Mannigfaltigkeit \(M'\) “analytisch”, wenn sie in der Umgebung jedes ihrer Punkte durch \(n-m\) analytische Gleichungen dargestellt werden kann. (Hieraus folgt: Wenn man die topologische Mannigfaltigkeit \(M\) zu einer einmal stetig differenzierbaren machen kann, so auch zu einer \(r\)-mal differenzierbaren bei beliebigem \(r\), ja zu einer analytischen!) Ein weiterer Satz besagt: Wenn eine \(m\)-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit derart im \(R^n\) liegt, daß man auf ihr \(n-m\) voneinander unabhängige stetige Felder von Normalvektoren anbringen kann, so läßt sie sich in ein “Feld” homöomorpher Mannigfaltigkeiten einbetten. (Hierzu vgl. man auch die inzwischen erschienene Arbeit von H. Seifert: Algebraische Approximation von Mannigfaltigkeiten, Math. Z. 41 (1936), 1-17; F. d. M. 62.) – Beweise werden nur kurz angedeutet.