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On the behaviour of an analytic function in the neighbourhood of its essential singularities. (English) JFM 62.0364.02

Die klassischen Sätze über die Wertverteilung meromorpher Funktionen mit einer wesentlichen Singularität sind charakterisiert durch die Namen Weierstraß (Funktionswerte überall dicht (I)), Picard (höchstens zwei Ausnahmewerte (II)) und Iversen (jeder Ausnahmewert ist ein asymptotischer Wert (III)). Aus diesen lassen sich leicht entsprechende Resultate für Funktionen mit einer abzählbaren Menge wesentlicher Singularitäten herleiten. In dem erheblich schwierigeren Fall von Funktionen mit nicht-abzahlbar vielen wesentlichen Singularitäten beweist Verf:
Für eine im Einheitskreise meromorphe Funktion zerfallen die Punkte \(e^{i \varphi}\) nach Wegnahme einer Menge vom Maß Null in zwei Klassen:
1. solche \(e^{i \varphi}\), in deren Umgebung die Funktion jedem Wert beliebig nahe kommt (I) und selbst “fast alle Werte” annimmt (II),
2. solche \(e^{i \varphi}\), für die lim \(f (z)\) existiert, wenn \(z \to e^{i \varphi}\), und zwar gleichmäßig in \(|\text{arg } (1 - ze^{- i \varphi})| \leqq \beta < \frac 12 \pi\) (III).
Bemerkenswert ist noch folgendes Resultat: Hat die im Einheitskreise meromorphe Funktion \(f (z)\) dort drei Ausnahmewerte, so sind die Punkte der zweiten Klasse auf dem Einheitkreise überall dicht.
Für Funktionen, die in einem offenen, einfach zusammenhängenden Bereich meromorph sind bis auf eine Menge wesentlicher Singularitäten vom logarithmischen Maß Null, beweist Verf. folgende, zu den klassischen nahe verwandte Sätze:
1. Die Funktionswerte sind in der Umgebung jeder Singularität überall dicht (I).
2. Die Funktion nimmt “fast alle” Werte an (II).
3. Jeder Ausnahmewert ist in der abgeschlossenen Hülle der asymptotischen Werte
enthalten (III).
Die Methode stützt sich auf Sätze über die Wertverteilung von Funktionen, die im Einheitskreis regulär sind, und auf solche über die Randwerte von Funktionen, die dort noch beschränkt sind.

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References:

[1] The regionD is not necessarily simply-connected, and soZ may be an isolated boundary point, entirely surrounded by points ofD.
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[9] R. Nevanlinna, Compt. Rend.199 (1934), pp. 512–515 and p. 548. [Added in the proofs] See also verhandlungen des 8. skand. Math. Kongresses Stockholm (1934), pp. 116–133. Theorem 1 on page 129 of the latter is false in the form stated. For an analytic function which is not a constant omits a set of values of positive harmonic measure near any pole or regular point. A single point is obviously a set of harmonic measure zero; and so we have a contradiction. The proof holds for the theorem as stated in Comptes Rendus; but I do not see how to modify it for a similar theorem IIc in § 5.2 of this paper holds if the setE is of harmonic measure zero with respect toevery region, but not if the set is of absolute harmonic measure zero in the sense of Nevanlinna.
[10] See § 5.2. R. Nevanlinna, Compt. Rend.199 (1934), pp. 512–515
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[12] R. Nevanlinna, Commentarii Math. Helvetici2 (1930), pp. 236–252. · JFM 56.0969.02 · doi:10.1007/BF01214462
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[16] N. Lusin and J. Privaloff, Ann. Scientifiques de l’Ecole Normale sup. (3)42 (1925) pp. 143–191.
[17] See G. Julia, Leçons sur les fonctions uniformes (Paris 1923), Chap. I.
[18] See L. Bieberbach. Lehrbuch der Funktionentheorie, II (1927), p. 266. The restriction {\(\alpha\)}/2 is only required to make 5/4{\(\alpha\)}п<п, so that the contour used in this particular argument does not cross itself.
[19] A. Plessner, Journ. f. Math.158 (1927), p. 219.
[20] L. Ahlfors, Soc. Sci. Fen. Commentationes Phys. Math.5, 16 (1931), pp. 1–19.
[21] –See § 2.1..
[22] See G. Julia, Leçons sur les fonctions uniformes, Paris (1923) Chap. II.
[23] A. Hurwitz.-R. Courant, Funktionentheorie, Berlin (1929) p. 432. See also J. E. Littlewood, Proc. London Math. Soc. (2)23 (1924), p.489.
[24] A. S. Besicovitch, Proc. London Math. Soc. (2)32 (1931), pp. 1–19. · JFM 56.0272.01 · doi:10.1112/plms/s2-32.1.1
[25] See W. Seidel, Trans. Amer. Math. Soc.36 (1934).
[26] See § 4.4. W. Seidel, Trans. Amer. Math. Soc.36 (1934).
[27] Compare R. Nevanlinna, Comptes Rendus199 (1934), pp. 512–515 and 548. See footnote R. Nevanlinna, Compt. Rend.199 (1934), pp. 512–515
[28] W. Seidel, Trans. Amer. Math. Soc.36 (1934), p. 228. · doi:10.1090/S0002-9947-1934-1501738-9
[29] See the theorem of R. Nevanlinna quoted in § 2. 1.
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