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Normalized integral bases of algebraic number fields. (English) JFM 63.0910.01

Vorbemerkung: Es werden die Bezeichnungen des Verf. verwendet, nur statt geschriebener Buchstaben der leichteren Wiedergabe wegen deutsche Buchstaben.
Es werden Sätze über die Basis der ganzen Zahlen eines algebraischen Zahlkörpers entwickelt.
Kap. I gibt bekannte Sätze, z. T. mit neuer Beweisführung. Erwähnt sei die Definition einer \(\vartheta\)-Basis, d. h. einer Basis, die sich aus einer primitiven ganzen Zahl \(\vartheta\), wie folgt, aufbaut: Es ist \[ \omega_1=1, \quad \omega_i= \frac 1{E_i}\left(\sum_{j=1}^{i-2} e_{ij} \vartheta^j + \vartheta^{i-1}\right) \] für \(1 < i \leqq n\). \(e_{ij}\) und \(E_i\) sind ganz rational, überdies \(E_i > 0\). Es ist \(E_i|E_{i+1}\).
In Kap. II behandelt Verf. die Entstehung eines Körpers \(\mathfrak f = \mathfrak R(\vartheta)\) aus dem natürlichen Zahlkörper \(\mathfrak R\) durch Adjungierung einer Wurzel \(\vartheta\) eines irreduziblen ganzzahligen Polynoms \(n\)-ten Grades \[ f(x) = x^n + a_2x^{n-2} + \cdots + a_n, \] wo es keine natürliche Zahl \(p > 1\) gibt, so daß \[ a_i \equiv O(p^i) \] für alle \(i>1\) gilt. Ein solches Polynom nennt Verf. Fundamentalpolynom. Gibt es eine \(\vartheta\)-Basis mit \(\omega_2 = \vartheta\), wobei \(\vartheta\) Wurzel eines Fundamentalpolynoms ist, so spricht Verf. von einer Basalerzeugung (basal generation) durch \(\vartheta\). Er beweist die Existenz solcher Basalerzeugungen für \(n > 2\). Zuletzt werden die Zahlringe mit einer Modulbasis 1, \(\vartheta\), …, \(\vartheta^{n-2}\), \(\varOmega\) innerhalb \(\mathfrak f\) besprochen.
Kap. III behandelt kubische Körper, wobei sich die Ergebnisse nur zum Teil mit denen von H. Bergström (Ark. Math. Astron. Fys. B 25 (1937), No. 26; JFM 63.0146.*) berühren. Verf. zeigt: Bei \(\mathfrak F = \mathfrak R(\vartheta)\), wo \(\vartheta\) Wurzel des Fundamentalpolynoms \(f(x)=x^3 + ax + b\) ist, gibt es genau dann eine Basalerzeugung durch eine \(\vartheta\)-Basis, wenn die Kongruenzen \[ f(e) \equiv 0(3^3), \quad f'(e) \equiv 0(3^2) \] keine gemeinsame Lösung haben. Ist dann \(E\) die größte natürliche Zahl, so daß \[ f(e) \equiv 0(E^2), \;f'(e) \equiv 0(E) \] gemeinsame Lösungen haben, dann ist \[ 1, \;\vartheta, \;\omega = \frac{e^2+a+e\vartheta+\vartheta^2}E \] eine Basis. Mit \(d(\vartheta)\) als Diskriminante von \(\vartheta\) ist \(\mathfrak F=\mathfrak R(\vartheta)\) eine Basalerzeugung, wenn entweder \(d(\vartheta) \not\equiv 0\) (3\(^6\)) oder gleichzeitig \(3^6\) \(|d(\vartheta)\), 3 \(|b\) ist.
Weiter bespricht Verf. den Übergang zu einer anderen Basis, wodurch er die verschiedenen Fälle von Diskriminantenteilern 3 und 2 sondert und charakterisiert. Es sei nur hervorgehoben: 2 ist außerwesentlicher Diskriminantenteiler genau in jenen kubischen Körpern, die eine Erzeugung durch eine Wurzel eines Fundamentalpolynoms mit \(a \equiv 3\) (4), \(b \equiv a + 1\) (8) gestatten. (Eine natürliche Primzahl \(> 2\) ist bekanntlich kein außerwesentlicher Diskriminantenteiler eines kubischen Körpers). Bei Übergang zu einer andern Basis 1, \(\varrho\), \(\varPhi\) mit \[ \varrho = x + y\vartheta + z\omega, \quad (y,z)=1 \] wird die \(E\) entsprechende Zahl \(E_\varrho\): \[ E_\varrho = |Ey^3 + 3ey^2z + Cyz^2 + Bz^3|. \] Hierbei sind \(B\) und \(C\) durch \(f(e)= BE^2\), \(f'(e)= CE\) bestimmt. Diskussion dieser kubischen Form zeigt an einem Beispiel: Es gibt kubische Körper ohne außerwesentliche Diskriminantenteiler, in denen für jedes ganze \(\varrho\) der Ring 1, \(\varrho\), \(\varrho^2\) eigentliche Teilmenge des Integritätsbereichs der ganzen Zahlen des Körpers ist, indem stets \(E_\varrho > 1\) ist. Hier ist also die Körperdiskriminante wohl größter gemeinsamer, aber echter Teiler aller Diskriminanten von Körperzahlen.
Kap. IV gibt die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, daß die Wurzel eines Fundamentalpolynoms vierten bzw. fünften Grades eine Basalerzeugung des betreffenden Körpers bewirkt.
Zuletzt einige Richtigstellungen: Es soll heißen: in Formel (50), S. 937 \(\varOmega_0\) statt \(\vartheta\varOmega_0\), in Formel (60), S. 939: \(-eg_nq\) statt \(- eq_nq\), S. 939, Z. 12 v. o.: (56) statt (54), in Formel (62), S. 939: \(-eqg_n\) statt \(+ eqg_n\). In den Formehl (64) bis (66) sind die Vorzeichen teilweise durcheinander geraten. Formel (67), S. 940 heißt richtig: \[ g_{n-1} = -\frac{f(e)}E, \quad \text{nicht} \quad g_{n-1}+ \frac{-f(e)}E. \] Es soll heißen: in Formel (76), S. 942: \(- (e^2 + a)\) statt \(- (C + a)\), in Formel (80) und (86), S. 942f.: \(E_\varrho\) statt \(E\varrho\), in Formel (82): \(Cyz^2\) statt \(Cy^2z\). S. 942 Z. 6 v. u. beginnt richtiggestellt mit: Since \(3x^2 = \frac 13 C^2z^2\), \(2xzC = \frac 23 z^2C^2\) …In S. 946, Z. 13 v. o. soll es heißen \(3e^2 + a\) statt \(3e^2 \neq a\), dies. S., Z. 19 v. u. \(-4a_1^3 - b^2\) statt \(- 4a_1^3 + b^2\), S. 948, Z. 16 v. u. \(E_\varrho \equiv \cdots\) statt \(E_\varrho = \cdots\), dies. S., Z. 6 v. u. \(3e^2 + a\) statt \(3e^2 = a\), S. 950, Z. 13 v. o. Lemma 13 statt Lemma 15, S. 956, Z. 7 v. u. (133) statt (134), dies. S., Z. 6 v. u. \(+ 16 g^4k\) statt \(- 16 g^4k\). Die Richtigkeit aller Schlüsse wird durch diese Fehler nicht berührt.

Citations:

JFM 63.0146.*
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