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Quelques inégalités pour les opérations linéaires. (French) JFM 65.0506.02

Unter \(L^r(a,b)\) mit \(r > 0\) wird die Klasse der reellen Funktionen für \(a\leqq x \leqq b\) verstanden, für die \[ \int\limits_a^b |f(x)|^r\,dx \] existiert. Wenn eine lineare Operation \(\varphi=T[f]\) jede Funktion \(f\in L^r(a,b)\) in eine Funktion \(\varphi \in L^\varrho(\alpha,\beta)\) überführt, gehört \(T\) zur Klasse \(L^{r,\varrho}(a,b;\alpha,\beta)\). Die kleinste Zahl \(M\) derart, daß \[ \left\{\int\limits_\alpha^\beta |\varphi(\xi)|^\varrho\,d\xi\right\}^{1/\varrho} \leqq M\left\{\int\limits_a^b |f(x)|^r\,dx\right\}^{1/r} \] ist, heißt die Norm der Operation \(T\). – Als Beispiel für die bewiesenen Ungleichungen führe ich an:
Theorem 3: Ist \(M\) die Norm der Operation \(T \in L^{r,\varrho}(a,b;\alpha,\beta)\), \(f_\nu \in L^r(a,b)\) und \(\varphi_\nu=T[f_\nu]\) für \(\nu=1,2,\ldots\), so gilt: \[ \left\{\int\limits_\alpha^\beta \left(\sum_\nu \varphi_\nu^2\right)^{\frac 12\varrho}\,d\xi\right\}^{1/\varrho} \leqq MK_{r,\varrho} \left\{\int\limits_a^b \left(\sum_\nu f_\nu^2\right)^{\frac 12 r}\,dx\right\}^{1/r} . \] Ist \(r<\gamma\), \(\varrho<\gamma\), \(0 < \gamma < 2\), so hat man auch \[ \left\{\int\limits_\alpha^\beta \left(\sum_\nu |\varphi_\nu|^\gamma\right)^{\varrho/\gamma}\,d\xi\right\}^{1/\varrho} \leqq MK_{r,\varrho, \gamma} \left\{\int\limits_a^b \left(\sum_\nu |f_\nu|^\gamma\right)^{r/\gamma}\,dx\right\}^{1/r} . \] Die Koeffizienten \(K\) hängen dabei nur von den als Indizes angeschriebenen Veränderlichen ab.

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