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On direct products, cyclic division algebras, and pure Riemann matrices. (English) Zbl 0001.11602

Es werden hyperkomplexe Systeme \(\mathfrak o\) über einem kommutativen Körper \(K\) der Charakteristik Null betrachtet, der ohne wesentliche Einschränkung als Unterring von \(\mathfrak o\) angenommen werden kann. \(\mathfrak o\) heißt normal bei \(K\), wenn \(K\) das Zentrum von \(\mathfrak o\) ist. Über diese normalen hyperkomplexen Systeme wird bewiesen:
1. Stellt man ein einfaches normales hyperkomplexes System \(\mathfrak o\) nach Maclagan-Wedderburn dar als vollständigen Matrizenring in einem (nicht notwendig kommutativen) Körper \(P\), so wird \(P\) normal bei \(K\). Umgekehrt ist ein vollständiger Matrizenring in einem bzgl. \(K\) normalen Körper endlichen Grades ein normales hyperkomplexes System. germ o
2. Das direkte Produkt zweier einfacher bei. K normaler hyperkomplexer Systeme ist wieder einfach und normal bzgl. \(K\). Und umgekehrt: Wird das einfache bzgl. \(K\) normale hyperkomplexe System \(\mathfrak o\) direktes Produkt \(\mathfrak o = \mathfrak o_1\times \mathfrak o_2\) zweier, hyperkomplexer Systeme \(\mathfrak o_1\) und \(\mathfrak o_1\), so sind \(\mathfrak o_1\) und \(\mathfrak o_2\) einfache normale hyperkomplexe Systeme.
3. Ist das einfache normale hyperkomplexe System \(\mathfrak o\) direktes Produkt \(\mathfrak o = \mathfrak o_1\times \mathfrak o_2\) und sind \(\mathfrak o\) und \(\mathfrak o_1\) vollständige Matrizenringe, so auch \(\mathfrak o_2\).
4. Zu einem normalen (nicht notwendig kommutativen) Körper \(\mathfrak k_1\) vom Grade \(n^2\) über \(K\) existiert immer ein normaler Körper \(\mathfrak k_2\) desselben Grades, so daß das direkte Produkt \(\mathfrak o = \mathfrak k_1\times \mathfrak k_2\) vollständiger Matrizenring in \(K\) wird.
5. Ist der vollständige Matrizenring \(\mathfrak o\) direktes Produkt der beiden normalen Körper \(\mathfrak k_1\) und \(\mathfrak k_2\), so haben beide denselben Grad bzgl. \(K\).
Für die spätere Anwendung auf Riemannsche Matrizen ist vor allem von Bedeutung:
6. Dann und nur dann ist der normale Körper \(\mathfrak k\) des Grades \(n^2\) als ein Unterring des Ringes aller \(m\) reihigen quadratischen Matrizen in \(K\) darstellbar, wenn \(m\) durch \(n^2\) teilbar wird.
Es gilt noch:
7. Das direkte Produkt zweier normaler Körper von den zueinander teilerfremden Graden \(m^2\) und \(n^2\) ist wieder normal. Alle bisher genauer untersuchten normalen Körper von endlichem Grade über \(K\) sind zyklisch. Unter einem zyklischen hyperkomplexen System \(\mathfrak o\) versteht man ein solches vom Grade \(n^2\) über \(K\) mit den Basiselementen \(\alpha^r\beta^s\) (\(r,s=0,1,\dots,n-1\)), wo \(\alpha\) und \(\beta\) den folgenden Bedingungen unterworfen sind: a) \(\beta^n= \kappa\neq 0\), \(\kappa\) aus \(K\). b) \(\alpha\) ist Nullstelle eines Galoisschen Polynoms \(f(x) = (x-\alpha)(x-\alpha^S)\cdots (x-\alpha^{S^{n-1}})\) mit zyklischer Gruppe, deren erzeugende Substitution \(S\) ist. c) \(\beta\alpha\beta^{-1} =\alpha^S\). Für die allgemeinen zyklischen Körper vom Grade \(n^2\) wird die Untersuchung ihrer Struktur zurückgeführt auf solche von Primzahlpotenzgrad \(p^{2s}\) mittels
8. Ist \(n = p_1^{e_1}\cdots p_i^{e_i}\) die Zerlegung von \(n\) in paarweise teilerfremde Primzahlpotenzen und \(\mathfrak k\) ein zyklischer Körper vom Grade \(n^2\) über \(K\), so wird \(\mathfrak k\) das direkte Produkt von \(t\) zyklischen Körpern \(\mathfrak k_i\) vom Grade \(p_i^{2e_i}\). Umgekehrt sind alle solchen direkten Produkte wieder zyklische Körper. Wedderburn bewies: Das zyklische hyperkomplexe System \(\mathfrak o\) ist Körper, wenn keime Potenz \(\kappa^\nu\) \((\kappa< n)\) Norm (= Produkt der konjugierten) eines Elementes aus \(K[a]\) ist; für \(n=2\) oder \(n=3\) genügt es sogar schon, daß \(\kappa\) selbst nicht Norm eines Elementes aus \(K[\alpha]\) wird. Hiervon gilt folgende Ausdehnung und Umkehrung:
9. Ist \(p\) Primzahl und \(\mathfrak o\) ein zyklisches hyperkomplexes System vom Grade \(p^2\) über \(K\), so ist \(\mathfrak o\) dann und nur dann Körper, wenn \(\kappa\) niemals Norm eines Elementes aus \(K[\alpha]\) ist. Ist \(\mathfrak k\) zyklischer Körper vom Grade \(n^2\) mit \(n = p_1^{e_1}\cdots p_i^{e_i}\) und \(\kappa^s\) Norm eines Elementes aus \(K[\alpha]\), so wird \(s\) teilbar durch \(p_1\cdots p_i\). Diese Resultate erlauben, 4. zu verschärfen in einem Spezialfall: Sei \(\mathfrak k_1\), ein zyklischer Körper vom Grade \(p^2\), \(\mathfrak k_2\) ein normaler Körper desselben Grades (\(p\) Primzahl). Dann und nur dann ist das direkte Produkt \(\mathfrak o = \mathfrak k_1\times\mathfrak k_2\) vollständiger Matrizenring, wenn \(\mathfrak k_2\) zu \(\mathfrak k_1\) isomorph ist. Die vorstehenden Ergebnisse werden angewandt auf die Theorie der reinen Riemannschen Matrizen (s. A. Krazer und W. Wirtinger [Abelsche Funktionen und allgemeine Thetafunktionen. Encykl. Math. Wiss. IIB 7, 604–873 (1920; JFM 47.0362.04) 114]; ferner G. Scorza [Rend. Circ. Mat. Palermo 41, 263–380 (1916; JFM 46.0607.04))]). Es wird vor allem gezeigt:
10. Der Multiplikabilitätsindex \(h\) einer reinen Riemannschen Matrix vom Geschlecht \(p\) in einem reellen Körper ist ein Teiler von \(2p\). Zuletzt werden noch normale Körper vom Typus \(R_n\) betrachtet. Man versteht darunter einen normalen Körper \(\mathfrak k\) vom Grade \(n^2\), der ein Element \(\alpha\) enthält, das Nullstelle eines Galoisschen Polynoms \(f(x)\) mit Koeffizienten aus \(K\) vom Minimalgrade \(n\) ist. Bedeuten \(S, T, \ldots\) die \(n\) Automorphismen der Galois Gruppe, von \(K(\alpha)\) bzgl. \(K\), so zeigt man, daß \(\mathfrak k\) eine Basis der Form \(\alpha^{j-1}\beta_S\) hat \((j=1,\ldots, n)\), wo die \(\beta_S, \beta_T, \ldots\) gerade \(n\) den Automorphismen entsprechende Elemente aus \(\mathfrak k\) sind, für die gilt: a) \(\beta_E = 1\) (\(E\) die Gruppeneinheit), b) \(\beta_S\alpha \beta_S^{-1}= \alpha^S\), c) \(\beta_T\beta_S = g_{T,S}\beta_{ST}\) mit Elementen \(g_{S,T}\) aus \(K[\alpha]\). Hierüber wird schließlich gezeigt:
11: Eine reine Riemannsche Matrix über einem reellen Körper \(K\) habe als zugehöriges Multiplikationssystem einen normalen Körper \(\mathfrak k\) vom Typus \(R_n\); die Nullstellen \(\alpha^S, \alpha^T,\ldots\) des durch das ausgezeichnete Element \(\alpha\) bestimmten Polynoms \(f(x)\) aus \(K\) vom Grade \(n\) seien entweder alle reell oder alle imaginär. Dann wird \(n\) eine Potenz von 2.
Reviewer: Grell (Jena)

MSC:

12E15 Skew fields, division rings
16K20 Finite-dimensional division rings
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