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Cohomology theory in abstract groups. I. (English) Zbl 0029.34001

In [Ann. Math. (2) 46, 480–509 (1945; Zbl 0061.40702)] haben Verff. ein Verfahren angegeben, das in rein algebraischer Weise für einen asphärischen Raum aus der Fundamentalgruppe \(\varPi\) die Kohomologiegruppen \(H^0, H^1, \ldots\), mit der abelschen Koeffizientengruppe \(G\) bestimmt. Hier wird dieses algebraische Verfahren, unabhängig von seiner topologischen Bedeutung, verallgemeinert auf den Fall, daß die (multiplikativ geschriebene) diskrete Gruppe \(\varPi\) als Gruppe von Automorphismen auf die (additiv geschriebene) abelsche Gruppe \(G\) operiert, d.h. \(x (g_1 + g_2) = xg_1 + xg_2\), \(x_1(x_2g) = (x_1 x_2) g\), \(1g = g\) für alle \(x\in \varPi\), \(g\in G\).
Es ergeben sich interessante Beziehungen zur Theorie der Gruppenerweiterungen [vgl. auch Eilenberg und MacLane, Ann. Math. (2) 43, 757–831 (1942)] und die beiden folgenden Referate].
Verwandte Untersuchungen für Algebren an Stelle der Gruppe \(\varPi\) bei G. Hochschild [Ann. Math. (2) 46, 58–67 (1945; Zbl 0063.02029); ibid. 47, 568–579 (1946; Zbl 0063.02030); Duke Math. J. 14, 921–948 (1947; Zbl 0029.34201)].
Eine \(n\)-dimensionale Kokette von \(\varPi\) über \(G\) ist eine Funktion \(F(x_0,\ldots, x_n)\) von \(n+1\) Variablen \(x_i\in \varPi\) mit Werten in \(G\), die die Eigenschaft \(F(xx_0, \ldots, xx_n) = x F(x_0,\ldots, x_n)\) hat. Der Korand \(\delta F\) von \(F\) ist eine \(n+1\)-dimensionale Kokette, definiert durch \[ (\delta F) (x_0, \ldots, x_{n+1}) = \sum_{i=0}^{n+1} (-1)^i F(x_, \ldots, \dot x_i, \ldots, x_{n+1}), \] wo \(\dot x_i\) anzeigt, daß die Variable \(x_i\) wegzulassen ist. Es ist \(\delta(\delta F) = 0\). Hieraus definiert man wie üblich die Kohomologiegruppen \(H^n(\varPi, G)\). \(G\) kann dabei sowohl diskret als auch eine topologische Gruppe sein. Im zweiten Fall werden die Operatoren \(x\) von \(G\) als stetig vorausgesetzt und die Kokettengruppen \(C^n(\varPi, G)\) in naheliegender Weise topologisiert. Der Korandoperator ist dann stetig, und in \(H^n(\varPi, G)\) wird eine Topologie induziert. Alle im Folgenden auftretenden Homo- und Isomorphismen sind dann ebenfalls stetig.
An Stelle der „homogenen“ Koketten \(F\) ist es für die algebraischen Untersuchungen angenehmer „inhomogene“ Koketten \(f(x_1, \ldots, x_n)\) zu verwenden, die Funktionen von \(n)\) Variablen \(x_i\in\varPi)\) mit Werten in \(G\) sind und vermöge \[ f(x_1, \ldots, x_n) = F(1, x_1, x_1 x_2, \ldots, x_1 x_2\cdots x_n) \] umkehrbar eindeutig auf die \(F\) bezogen werden. Für sie ist dann die grundlegende Koranddefinition \[ (\delta f) (x_1, \ldots, x_{n+1}) = x_1 f(x_2, \ldots, x_{n+1}) + \] \[ + \sum_{i=1}^n (-1)^i f(x_1, \ldots, x_ix_{i+1}, \ldots, x_{n+1}) + \] \[ + (-1)^{n+1} f(x_1, \ldots, x_n). \] Für die Fälle \(n = 0, 1, 2\) werden gruppentheoretische Deutungen der \(H^n(\varPi, G)\) gegeben, z. B. ist \(H^2(\varPi, G)\) isomorph mit der Baerschen Gruppe derjenigen Typen von Erweiterungen \(E\) und \(G\) durch \(\varPi\), bei denen der Automorphismus \(x\) von \(G\) gerade durch die inneren Automorphismen von \(E\) mit den Elementen aus der Restklasse \(x\) induziert wird [vgl. R. Baer, Math. Z. 38, 375–416 (1934; Zbl 0009.01101)]. Die Kozyklen \(f(x_1, x_2)\) sind dabei die zugehörigen Faktorensysteme. Falls \(xg = g\) für alle \(x\in\varPi\), \(g\in G\), erhält man die Gruppe der zentralen Erweiterungen von \(G\) durch \(G\varPi\) [vgl, auch Verff., Ann. Math. (2) 46, 480–509 (1945)].
Falls für die abelschen Gruppen \(G_1\), \(G_2\), \(G\) mit \(\varPi\) als Gruppe von Automorphismen eine Paarung von \(G_1\) und \(G_2\) zu \(G\) erklärt ist, d. h. ein bilineares Produkt \(g_1\cup g_2\in G\) mit der Eigenschaft \(x g_1 \cup x g_2 = x(g_1\cup g_2)\) für alle \(g\in G\), \(x\in\varPi\), so wird wie üblich für \(F_1\in C^p(\varPi,G)\), \(F_2\in C^q(\varPi,G)\) ein Cup-Produkt \(F_1\cup F_2\in C^{p+q}(\varPi,G)\) definiert durch \[ (F_1 \cup F_2) (x_0, \ldots, x_{p+q}) = F_1(x_0, \ldots, x_p) \cup F_2(x_0, \ldots, x_q), \] das auf Grund der Gültigkeit der üblichen Korandformel sich auf die Kohomologieklassen übertragen läßt. Für die inhomogenen Koketten wird das Cup-Produkt \[ (f_1\cup f_2) (x_1, \ldots, x_{p+q}) = f_1(x_1, \ldots, x_p) \cup x_1\cdots x_p f_2(x_{p+1}, \ldots, x_{p+q}). \] Weiter kann man die Koketten \(f\) so normiert denken, daß \(f_1(x_1, \ldots, x_n) = 0\), falls eins der \(x_i = 1\) ist, ohne daß dadurch die Kohomologiegruppen geändert werden. Im Folgenden seien alle Koketten normiert.
Faßt man die Koketten \(f_1(x_1, \ldots, x_n)\) als Funktionen von \(x_2,\ldots,x_n)\) auf, deren Funktionswerte Funktionen von \(x_1\) mit Werten in \(G\), also Elemente aus \(C^1(\varPi,G)\) sind, so entsteht ein Isomorphismus zwischen den Kokettengruppen \(C^n(\varPi,G)\) und \(C^{n-1}(\varPi,C^1(\varPi,G))\). Dieser ist korandtreu, wenn die Operatoren \(x\) für \(f\in C^1(\varPi,G)\) durch \((x f) (y) = f(yx) - yf(x)\) \((x, y\in\varPi)\) erklärt werden. Daher folgt das Reduktionstheorem \[ H^n(\varPi,G) \cong H^{n-1}((\varPi,C^1(\varPi, G))\quad (n > 1). \] Ein weiteres Reduktionstheorem erhält man aus einer Darstellung \(\varPi = F/R = F_0/R_0\) \((F\) frei, \(F_0 = F/[R, R]\), \(R_0 = R/ [R, R]\), \([R,R] = \) Kommutatorgruppe von \(R)\): Als Erweiterung von \(R_0\) durch \(\varPi\) bestimmt \(F_0\) eindeutig ein \(k\in H^2 (\varPi, R_0)\). Sei \(f_0\in k\). Dann induziert \(f \to f_0\cup f\) einen Isomorphismus \[ H^n (\varPi, \operatorname{Hom}(R_0, G)) \cong H^{n+2} (\varPi,G)\quad (n > 0), \] wobei \(\operatorname{Hom}(R_0, G)\) die Gruppe der Homomorphismen von \(R_0\) in \(G\) ist, die Paarung \(r \cup \Phi)\) für \(r\in R_0\), \(\Phi\in \operatorname{Hom}(R_0, G)\) durch \(\Phi(r)\) und \((x \Phi) (r) = (x [\Phi(x^{-1}- r)]\) erklärt ist. Im Falle \(n = 0\) entsteht durch dieses Verfahren nur ein Homomorphismus, der für den Fall \(xg = g\) (für alle \(x\in\varPi,\ g\in G)\) und \(G = P = \) Gruppe der reellen Zahlen mod 1 das Hopfsche Ergebnis \[ R \cap [F, F]/[F, R] \cong \text{ Charakterengruppe von }H^2(\varPi, G) \] liefert [vgl. H. Hopf, Comment. Math. Helv. 14, 257–309 (1942; Zbl 0027.09503); Verff., Ann. Math. (2) 46,480–509 (1945)].
Als Anwendung werden die Kohomologiegruppen eines zyklischen \(\varPi\) endlicher Ordnung bestimmt.

MSC:

20J06 Cohomology of groups
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