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Historical remarks on Gauss-Bonnet. (English) Zbl 0701.53039

Analysis, et cetera, Res. Pap. in Honor of J. Moser’s 60th Birthd., 209-217 (1990).
[For the entire collection see Zbl 0688.00009.]
Ausgehend vom Fall einer (intrinseken oder eingebetteten) Fläche M mit Riemannscher Metrik zeigt Verf. (nach historischem Rückblick), daß die Annahme der Gültigkeit der Formel von Gauß-Bonnet für eine Fläche mit der Finsler-Metrik \(ds^ 2=\Phi^ 2(x,y,y')dx^ 2,\) \(y'=dy/dx\) auf die “Landsberg-Räume” mit verschwindender erster invarianter Ableitung von \(I:=(1/4)\Phi^{-1/2}(\Phi_{y'y'})^{- 3/2}(\Phi^ 2)_{y'y'y'}\) führt. Diese Klasse von Räumen umfaßt diejenige der Flächen mit Riemannscher Metrik \((I=0)\). Die Beweise werden mit Hilfe des Cartanschen Kalküls im Bündel PTM der projektiven Geraden über M geführt.
Reviewer: K.Leichtweiß

MSC:

53B40 Local differential geometry of Finsler spaces and generalizations (areal metrics)

Citations:

Zbl 0688.00009