Vol. 21, No. 1, 1967

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ISSN: 0030-8730
Der Hurewicz-Satz

Friedrich-Wilhelm Bauer

Vol. 21 (1967), No. 1, 1–14
Abstract

In [1] F. W. Bauer, Homotopie und Homologie, Mathem. Ann. Bd. 149 S. 105-130 (1963), wurde zu jeder Homologietheorie eine Homotopietheorie gefunden, für die ein Hurewicz-Satz gilt und die mit dieser Eigenschaft universell ist. In dieser Arbeit wird dieser Gedankengang wesentlich verallgemeinert und zu einem beliebigen Funktor Φ : R A (R ist eine beliebige Kategorie mit hinreichend vielen Nullabbildungen, bezgl. As. 1. Abschnitt) ein eindeutig bestimmter universeller Funktor Φπ : R A gefunden, der einem Hurewicz-Satz (d. h. Bedingung H) im 2. Abschnitt) genügt. Die einzige Forderung an Φ ist eine Art Dimensionsaxiom Φ1) im ersten Abschnitt.

Die Konstruktion von Φπ verläuft nach den gleichen Prinzipien wie in [1]. Man hat nur hier bei Φπ(X) i. A. auch dann keine Gruppenstruktur mehr, wenn Φ(X) noch eine Gruppenstruktur trug. Als unmittelbare Anwendung bekommt man wieder die Hurewiczschen Homotopiegruppen heraus, wenn man von der singulären Homologie ausgeht. Nimmt man einen dualisierten Homotopiefunktor π als Φ, so bekommt man für Φπ den Cechschen Kohomologiefunktor (mit Koeffizienten in R1 (= reelle Zahlen mod 1)) heraus. Eine weitere Anwendung ist die Konstruktion eines universellen Homotopiefunktors (d.h. eines solchen, der H) erfüllt Φw zu gegebenem Φ, der die folgende Eigenschaft hat:

W) Ist für ein f R,Φ(f) ein Isomorphismus, so auch ΦW(f).

Ist Φ = Hn, der singuläre Homologiefunktor in irgend einer Dimension, so hat bekanntlich auf einer Kategorie von einfach zusammenhämgenden Räumen der Funktor πn diese Eigenschaft. Das ist der Inhalt eines bekannten Satzes von J. H. C. Whitehead. In Satz 4 wird festgestellt, dass es zu beliebigem Φ immer genau einen universellen Homotopiefunktor gibt, der die Eigenschaft W) hat.

Mathematical Subject Classification
Primary: 55.40
Secondary: 18.00
Milestones
Received: 6 December 1965
Published: 1 April 1967
Authors
Friedrich-Wilhelm Bauer