Obstruction de descente et obstruction de Brauer–Manin étale

Demarche, Cyril

doi:10.2140/ant.2009.3.237

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Obstruction de descente et obstruction de Brauer–Manin étale

Cyril Demarche

Vol. 3 (2009), No. 2, 237–254

DOI: 10.2140/ant.2009.3.237

Abstract

Soit $X$ une variété projective lisse géométriquement intègre sur un corps de nombres. On considère deux obstructions au principe de Hasse sur $X$ : l’obstruction de Brauer–Manin appliquée aux revêtements étales de $X$ et l’obstruction de descente sur $X$ . On démontre que la première est plus forte que la seconde. On en déduit, grâce à un exemple récent de Poonen, que l’obstruction de descente est insuffisante pour expliquer tous les contrexemples au principe de Hasse.

Let $X$ be a smooth, projective and geometrically integral variety over a number field. We consider two obstructions to the Hasse principle on $X$ $:$ the Brauer–Manin obstruction applied to étale covers of $X$ and the descent obstruction on $X$ . We prove that the first one is at least as strong as the second. Combining this with a recent example of Poonen shows that the descent obstruction is not sufficient to explain all counterexamples to the Hasse principle.

Keywords

principe de Hasse, obstruction de Brauer–Manin, obstruction de descente, cohomologie galoisienne, torseurs, Hasse principle, Brauer–Manin obstruction, descent obstruction, Galois cohomology, torsors

Mathematical Subject Classification 2000

Primary: 11G35

Secondary: 14G05, 11E72

Milestones

Received: 11 July 2008

Revised: 21 October 2008

Accepted: 18 November 2008

Published: 15 March 2009

Authors

Cyril Demarche
Université Paris-Sud Laboratoire de Mathématiques d’Orsay 91405 Orsay Cedex France
http://www.math.u-psud.fr/~demarche/

Vol. 3, No. 2, 2009