Nous présentons ici quelques résultats autour du problème inverse de
Galois. Nous commençons par rappeler la stratégie géométrique classique
permettant de démontrer que tout groupe fini est groupe de Galois
sur .
Nous l’appliquons dans une autre situation afin de démontrer que,
si
désigne le corps des fonctions méromorphes sur une
partie , d’un certain
type, d’un espace de Berkovich sur un corps, alors l’énoncé précédent reste valable lorsque
l’on remplace
par .
On retrouve, en particulier, le fait que tout groupe fini est groupe de Galois
sur ,
lorsque
est un corps valué complet dont la valuation n’est pas triviale.
Dans un second temps, en utilisant une méthode similaire, nous proposons une
nouvelle preuve, purement géométrique, dans le langage des espaces de Berkovich
sur un anneau d’entiers de corps de nombres, d’un résultat de D. Harbater assurant
que tout groupe fini est groupe de Galois sur un corps de séries arithmétiques
convergentes, ainsi que quelques généralisations.
Patching on Berkovich spaces. We present a few results related to the inverse
Galois problem. First we recall the geometric patching strategy that is used to handle
the problem in the complex case. We use it in a different situation to prove that
if is the field of meromorphic
functions over a part ,
satisfying some conditions, of a Berkovich space over a valued field, then every finite group is a
Galois group over .
From this we derive a new proof of the fact that any finite group is a Galois group
over ,
where is
a complete valued field with nontrivial valuation.
In a second part, we deal with the following theorem by D. Harbater: every finite
group is a Galois group over a field of convergent arithmetic power series. We switch
to Berkovich spaces over the ring of integers of a number field and use a similar
strategy to give a new and purely geometric proof of this theorem, as well as some
generalizations.
Keywords
problème inverse de Galois, espaces de Berkovich, géométrie
analytique $p$-adique, géométrie analytique globale, séries
arithmétiques convergentes, inverse Galois problem,
Berkovich spaces, p-adic analytic geometry, global analytic
geometry, convergent arithmetic power series
