Soit
une extension infinie
du corps de nombres
,
dont le groupe de Galois
est un pro--groupe
-valué de type
fini et dans laquelle seul un nombre fini de places sont ramifiées. La filtration entière de
fixe des étages
finis
dans la
tour
. Pour deux
ensembles finis
et
de places de
, on attache à
le groupe de
Galois
de sa
pro--extension
abélienne
-ramifiée
et
-décomposée
maximale, que la théorie du corps de classes interprète comme un groupe des classes
généralisées. On démontre pour ces groupes des formules asymptotiques semblables
à celle du théorème d’Iwasawa sur l’évolution du nombre de classes le long d’une
-extension.
Les preuves utilisent les résultats de structure en théorie d’Iwasawa non-commutative
et font apparaître les invariants d’Iwasawa attachés au module à l’infini
.
Ces formules donnent des relations de dualité entre les invariants de
et ceux
de
, et
débouchent sur des calculs d’invariants d’Iwasawa.
Let
be an infinite
extension of the number field
,
with a
-valued
pro---group of
finite type
as
Galois group, and such that only finitely many primes are ramified in this extension. The integral
filtration on
fixes finite layers
in the tower
.
For
and
two finite sets of
primes of
, one
can attach to
the
Galois group
of his
maximal
-ramified
and
-split abelian
pro---extension,
which can be viewed as a generalized class group via class field theory. For these groups,
we prove asymptotic formulas similar to Iwasawa’s theorem on class numbers in
-extensions.
The proofs use structure results in noncommutative Iwasawa
theory and involve Iwasawa’s invariants of the module at infinity
.
These formulas give duality relations between invariants of
and
those of
,
and lead to computations of Iwasawa invariants.
