Conjecture de Shafarevitch effective pour les revêtements cycliques

de Jong, Robin; Rémond, Gaël

doi:10.2140/ant.2011.5.1133

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Conjecture de Shafarevitch effective pour les revêtements cycliques

Robin de Jong and Gaël Rémond

Vol. 5 (2011), No. 8, 1133–1143

DOI: 10.2140/ant.2011.5.1133

Abstract

On donne une borne supérieure explicite en fonction de $K$ , $S$ , $g$ pour la hauteur de Faltings de la jacobienne d’une courbe $C$ de genre $g$ , définie sur un corps de nombres $K$ et ayant bonne réduction en dehors d’un ensemble fini $S$ de places de $K$ , pourvu que $C$ puisse s’écrire comme un revêtement cyclique de degré premier de la droite projective. La preuve repose sur le fait que les birapports des points de branchement du revêtement sont des $S$ -unités, donc de hauteur bornée, et donnent un modèle plan de $C$ .

We give an explicit upper bound in terms of $K$ , $S$ , $g$ for the Faltings height of the jacobian of a curve $C$ of genus $g$ , defined over a number field $K$ and with good reduction outside a finite set $S$ of places of $K$ under the condition that $C$ can be written as a cyclic cover of prime order of the projective line. The proof rests on the fact that the cross ratios of the branch points of the cover are $S$ -units, thus of bounded height, and give a plane model of $C$ .

Keywords

conjecture de Shafarevitch, courbe, revêtement, hauteur, réduction, birapport, Shafarevich conjecture, curve, cover, height, reduction, cross ratio

Mathematical Subject Classification 2010

Primary: 11G30

Milestones

Received: 6 January 2011

Revised: 7 March 2011

Accepted: 7 March 2011

Published: 5 June 2012

Authors

Robin de Jong
Mathematisch Instituut Universiteit Leiden PO Box 9512 2300 RA Leiden Netherlands

Gaël Rémond
Institut Fourier, UMR 5582 Université Grenoble I BP 74 38402 Saint-Martin-d’Hères Cedex France

Vol. 5, No. 8, 2011