On donne des résultats de non-existence pour les points rationnels de la courbe modulaire de
Drinfeld affine
avec
idéal
premier de
.
Cette courbe classifie les modules de Drinfeld de
rang munis d’un point
de torsion d’ordre .
Le premier énoncé concerne les points définis sur les extensions de
quadratiques
pour
de
degré et
cubiques pour
de degré
et
. Le
deuxième, conditionné à une dualité entre algèbre de Hecke et formes
modulaires de Drinfeld, concerne les points sur les extensions de degré
pour
suffisamment grand. Comme conséquence, on déduit, sous la même
condition, une borne uniforme pour la torsion des modules de Drinfeld de
rang définis sur
les extensions de
de degré
,
prédite par Poonen.
We give nonexistence results for rational points on the affine Drinfeld modular curve
with
a prime ideal of
. This curve classifies Drinfeld
modules of rank with a
torsion point of order .
The first statement concerns points defined over quadratic extensions of
for
of
degree and cubic
extensions of
for
of
degree
and
.
The second statement is valid under a duality condition between Hecke algebra
and Drinfeld modular forms, and concerns points over extensions of degree
whenever
is sufficiently
large. As a consequence we derive, under the same condition, a uniform bound for the torsion of
rank- Drinfeld modules
defined over extensions of
of degree ,
as predicted by Poonen.
Keywords
torsion of Drinfeld modules, Drinfeld modular forms,
Drinfeld modular curves
