Soit
une
extension finie de
et
un sous-groupe de Borel d’un groupe réductif déployé connexe
sur
de centre connexe. On définit un foncteur contravariant et
exact à droite de la catégorie des représentations lisses de
sur
vers la catégorie des limites
projectives de
-modules
étales (pour
)
sur
.
On montre que ce foncteur est insensible à l’induction parabolique et que,
restreint aux représentations de longueur finie dont les constituants sont
des sous-quotients de séries principales, il est exact et donne de “vrais”
-modules. Par
passage à la limite projective, on en déduit que, convenablement normalisé, il envoie la
-représentation
de Breuil et Herzig (Duke Math. J.164:7 (2015), 1271–1352) vers le
-module de la
représentation
de
,
reliant ainsi les deux constructions de
loc. cit.
Let
be a finite
extension of
and
a Borel subgroup of a split reductive connected algebraic group
over
with a connected
center. We define a right exact contravariant functor from the category of smooth representations
of
over
to the category of projective
limits of étale
-modules
(for
)
over
.
We show that this functor is insensitive to parabolic induction and that,
when restricted to finite length representations with all constituents
being subquotients of principal series, it is exact and yields “genuine”
-modules.
By a projective limit process, we deduce that, conveniently normalized, it sends the
-representation
of Breuil and Herzig (Duke Math. J.164:7 (2015), 1271–1352) to the
-module of the
representation
of
,
thus connecting the two constructions of
loc. cit.
