Soit
une variété abélienne définie sur un corps de nombres
.
Le nombre de points de torsion définis sur une extension finie
est borné polynomialement en terme du degré
de
sur
.
Sous les trois hypothèses suivantes nous calculons l’exposant optimal dans
cette borne, en terme de la dimension des sous-variétés abéliennes de
et de leurs anneaux d’endomorphismes. Les trois hypothèses faites sur
sont les
suivantes: (1)
est géométriquement isogène à un produit de variétés
abéliennes simples de type I ou II dans la classification d’Albert; (2)
est de “type Lefschetz” c’est-à-dire que le groupe de Mumford–Tate est le
groupe des similitudes symplectiques commutant aux endomorphismes; (3)
vérifie la conjecture de Mumford–Tate. Le résultat est notamment inconditionnel
(i.e., ces trois hypothèses sont vérifiées) pour un produit de variétés
abéliennes simples de type I ou II et de dimension relative impaire. Par ailleurs nous
prouvons, en étendant des résultats de Serre, Pink et Hall, la conjecture de
Mumford–Tate pour quelques nouveaux cas de variétés abéliennes de type
Lefschetz.
Let
be an abelian variety defined over a number field
.
The number of torsion points that are rational over a finite extension
is bounded polynomially
in terms of the degree
of
over
.
Under the following three conditions we compute the optimal exponent
for this bound, in terms of the dimension of abelian subvarieties and
their endomorphism rings. The three hypotheses are the following: (1)
is geometrically
isogenous to a product of simple abelian varieties of type I or II, according to the Albert
classification; (2)
is of “Lefschetz type,” that is, the Mumford–Tate group is the group of
symplectic similitudes which commute with the endomorphism ring. (3)
satisfies the Mumford–Tate conjecture. This result is unconditional (i.e., the three
hypotheses are satisfied) for a product of simple abelian varieties of type I or II with
odd relative dimension. Further, building on work of Serre, Pink and Hall, we also
prove the Mumford–Tate conjecture for a few new cases of abelian varieties of
Lefschetz type.
Keywords
abelian varieties, Galois representations, Mumford–Tate
group, torsion points, symplectic group