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Torsion pour les
variétés abéliennes de type I et II
Marc Hindry and Nicolas Ratazzi |
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Vol. 10 (2016), No. 9, 1845–1891
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DOI: 10.2140/ant.2016.10.1845
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Abstract |
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Soit une variété abélienne définie sur un corps de nombres . Le nombre de points de torsion définis sur une extension finie est borné polynomialement en terme du degré de sur . Sous les trois hypothèses suivantes nous calculons l’exposant optimal dans cette borne, en terme de la dimension des sous-variétés abéliennes de et de leurs anneaux d’endomorphismes. Les trois hypothèses faites sur sont les suivantes : (1) est géométriquement isogène à un produit de variétés abéliennes simples de type I ou II dans la classification d’Albert ; (2) est de “type Lefschetz” c’est-à-dire que le groupe de Mumford–Tate est le groupe des similitudes symplectiques commutant aux endomorphismes ; (3) vérifie la conjecture de Mumford–Tate. Le résultat est notamment inconditionnel (i.e., ces trois hypothèses sont vérifiées) pour un produit de variétés abéliennes simples de type I ou II et de dimension relative impaire. Par ailleurs nous prouvons, en étendant des résultats de Serre, Pink et Hall, la conjecture de Mumford–Tate pour quelques nouveaux cas de variétés abéliennes de type Lefschetz. Let be an abelian variety defined over a number field . The number of torsion points that are rational over a finite extension is bounded polynomially in terms of the degree of over . Under the following three conditions we compute the optimal exponent for this bound, in terms of the dimension of abelian subvarieties and their endomorphism rings. The three hypotheses are the following: (1) is geometrically isogenous to a product of simple abelian varieties of type I or II, according to the Albert classification; (2) is of “Lefschetz type,” that is, the Mumford–Tate group is the group of symplectic similitudes which commute with the endomorphism ring. (3) satisfies the Mumford–Tate conjecture. This result is unconditional (i.e., the three hypotheses are satisfied) for a product of simple abelian varieties of type I or II with odd relative dimension. Further, building on work of Serre, Pink and Hall, we also prove the Mumford–Tate conjecture for a few new cases of abelian varieties of Lefschetz type. |
Keywords
abelian varieties, Galois representations, Mumford–Tate
group, torsion points, symplectic group
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Mathematical Subject Classification 2010
Primary: 11G10
Secondary: 11F80, 14K15, 14KXX
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Milestones
Received: 25 May 2015
Revised: 14 July 2016
Accepted: 12 August 2016
Published: 22 November 2016
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Authors |
| Marc Hindry | |
| Institut de Mathématiques Jussieu –
Paris Rive Gauche Université Paris Diderot Bâtiment Sophie Germain 8 place Aurélie Nemours 75013 Paris France |
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| Nicolas Ratazzi | |
| Equipe d’Arithmétique et Géométrie
Algébrique Université Paris-Sud Bâtiment 425 91405 Orsay France |
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