On développe une variante des méthodes de Coleman et Perrin-Riou permettant,
pour une représentation galoisienne de de Rham, construire des fonctions
-adiques
à partir d’un système compatible d’éléments globaux. On obtient de
la sorte des fonctions analytiques sur un ouvert de l’espace des poids
contenant les caractères localement algébriques de conducteur assez
grand. Appliqué au système d’Euler de Kato, cela fournit des fonctions
-adiques
pour les courbes elliptiques à mauvaise réduction additive et,
plus généralement, pour les formes modulaires supercuspidales en
. En
dimension
,
nous prouvons une équation fonctionnelle pour nos fonctions
-adiques.
We develop a variant of Coleman and Perrin-Riou’s methods giving, for a de Rham
-adic Galois representation,
a construction of
-adic
-functions from
a compatible system of global elements. As a result, we construct analytic functions on an open
set of the
-adic
weight space containing all locally algebraic characters of large
enough conductor. Applied to Kato’s Euler system, this gives
-adic
-functions for elliptic
curves with additive bad reduction and, more generally, for modular forms which are supercuspidal at
. In the case of dimension
, we prove a functional
equation for our
-adic
-functions.
Keywords
$p$-adic $L$-functions, modular forms,
$(\varphi,\Gamma)$-modules, $p$-adic Hodge theory
