Le théorème de Fermat sur certains corps de nombres totalement réels

Kraus, Alain

doi:10.2140/ant.2019.13.301

Download this article
	For screen
	For printing

Recent Issues

The Journal

Submission Guidelines

Submission Form

Policies for Authors

Ethics Statement

ISSN: 1944-7833 (e-only)

ISSN: 1937-0652 (print)

Author Index

To Appear

Other MSP Journals

This article is available for purchase or by subscription. See below.

Le théorème de Fermat sur certains corps de nombres totalement réels

Alain Kraus

Vol. 13 (2019), No. 2, 301–332

DOI: 10.2140/ant.2019.13.301

Abstract

Soit $K$ un corps de nombres totalement réel. Pour tout nombre premier $p \geq 5$ , notons $F_{p}$ la courbe de Fermat d’équation $x^{p} + y^{p} + z^{p} = 0$ . Sous l’hypothèse que $2$ est totalement ramifié dans $K$ , on établit quelques résultats sur l’ensemble $F_{p} (K)$ des points de $F_{p}$ rationnels sur $K$ . On obtient un critère pour que le théorème de Fermat asymptotique soit vrai sur $K$ , critère relatif à l’ensemble des newforms modulaires paraboliques de Hilbert sur $K$ , de poids parallèle $2$ et de niveau l’idéal premier au-dessus de $2$ . Il peut souvent se tester simplement numériquement, notamment quand le nombre de classes restreint de $K$ vaut $1$ . Par ailleurs, en utilisant la méthode modulaire, on démontre le théorème de Fermat de façon effective, sur certains corps de nombres dont les degrés sur $ℚ$ sont $3, 4, 5, 6$ et $8$ .

Let $K$ be a totally real number field. For all prime number $p \geq 5$ , let us denote by $F_{p}$ the Fermat curve of equation $x^{p} + y^{p} + z^{p} = 0$ . Under the assumption that $2$ is totally ramified in $K$ , we establish some results about the set $F_{p} (K)$ of points of $F_{p}$ rational over $K$ . We obtain a criterion so that the asymptotic Fermat’s last theorem is true over $K$ , criterion related to the set of Hilbert modular cuspidal newforms over $K$ , of parallel weight $2$ and of level the prime ideal above $2$ . It is often simply testable numerically, particularly if the narrow class number of $K$ is $1$ . Furthermore, using the modular method, we prove Fermat’s last theorem effectively, over some number fields whose degrees over $ℚ$ are $3, 4, 5, 6$ and $8$ .

PDF Access Denied

We have not been able to recognize your IP address 3.146.152.99 as that of a subscriber to this journal.
Online access to the content of recent issues is by subscription, or purchase of single articles.

Please contact your institution's librarian suggesting a subscription, for example by using our journal-recommendation form. Or, visit our subscription page for instructions on purchasing a subscription.

You may also contact us at contact@msp.org
or by using our contact form.

Or, you may purchase this single article for USD 40.00:

Keywords

Fermat equation, number fields, elliptic curves, modular method

Mathematical Subject Classification 2010

Primary: 11D41

Secondary: 11G05, 11R37

Milestones

Received: 24 September 2017

Revised: 13 April 2018

Accepted: 23 September 2018

Published: 2 March 2019

Authors

Alain Kraus
Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche Sorbonne Université UMR 7586 CNRS - Paris Diderot 75005 Paris France

Vol. 13, No. 2, 2019