Soit
un corps de nombres totalement réel. Pour tout nombre premier
, notons
la courbe de Fermat
d’équation
. Sous
l’hypothèse que
est
totalement ramifié dans
,
on établit quelques résultats sur l’ensemble
des points de
rationnels
sur
.
On obtient un critère pour que le théorème de Fermat asymptotique soit vrai sur
,
critère relatif à l’ensemble des newforms modulaires paraboliques de Hilbert sur
, de poids parallèle
et de niveau l’idéal
premier au-dessus de
.
Il peut souvent se tester simplement numériquement, notamment quand le nombre de classes
restreint de
vaut .
Par ailleurs, en utilisant la méthode modulaire, on démontre le théorème de
Fermat de façon effective, sur certains corps de nombres dont les degrés sur
sont
et
.
Let
be a totally real number field. For all prime number
, let us denote by
the Fermat curve of
equation
. Under the
assumption that
is totally
ramified in
, we establish
some results about the set
of points of
rational over
.
We obtain a criterion so that the asymptotic Fermat’s last theorem is true over
,
criterion related to the set of Hilbert modular cuspidal newforms over
, of parallel weight
and of level the
prime ideal above
.
It is often simply testable numerically, particularly if the narrow class number of
is
.
Furthermore, using the modular method, we prove Fermat’s last
theorem effectively, over some number fields whose degrees over
are
and
.
Keywords
Fermat equation, number fields, elliptic curves, modular
method
