Pour un morphisme
,
plat et de présentation finie, l’enveloppe étale — un avatar du
— peut ne pas exister ; par contre l’enveloppe étale
séparée, i.e.,
celle qui est universelle pour les schémas étales et
séparés sur
, existe dès que
est localement
connexe. On la note
;
c’est le quotient de
par la relation d’équivalence minimale à graphe ouvert et fermé dans
; cette
construction permet de démontrer qu’un morphisme
fpqc de changement de base
induit un
isomorphisme
si ses fibres géométriques sont connexes. Par ailleurs, lorsque
est normal, disons intègre, et que le morphisme
est normal, on dispose
d’un isomorphisme
;
il permet d’étendre à des morphismes normaux des résultats connus sur un corps
de base. Toujours sous des hypothèses de normalité, le morphisme canonique
fait apparaître
le schéma
comme l’enveloppe séparée de l’espace algébrique
.
For a flat morphism
of finite presentation, the étale envelope — an avatar of
— may fail to
exist; but, the
separated étale envelope, i.e., the one which is universal for the
separated étale
-schemes only, is shown to
exist as soon as
is locally
connected; denoted
,
it is the quotient of
by the equivalence relation which is minimal among those with clopen graph in
;
from that we prove that, for a
fpqc base change
, the morphism
is an isomorphism if the
geometric fibres of
are
connected. When
is integral
with generic point
, and if
both
and the morphism
are normal, then one
gets the isomorphism
,
on the strength of which one can often extend to
results previously proven when the base is a field.
Keywords
étale envelope, connected component, clopen subsets of a
scheme
