On commence par donner la version géométrique d’un résultat de Colmez et
Nizioł établissant un théorème de comparaison entre les cycles proches
-adiques
arithmétiques et la cohomologie des faisceaux syntomiques. La
construction locale de cet isomorphisme utilise la théorie des
-modules
et s’obtient en réduisant l’isomorphisme de périodes à un théorème
de comparaison entre des cohomologies d’algèbres de Lie. En appliquant
ensuite la méthode des « coordonnées plus générales » utilisée par
Bhatt, Morrow et Scholze, on construit un isomorphisme global. On peut
notamment déduire de ce théorème la conjecture semi-stable de Fontaine et
Jannsen. Ce résultat a également été prouvé par (entre autres) Tsuji, via
l’application de Fontaine et Messing, et par Česnavičius et Koshikawa, qui
généralisent la preuve de la conjecture cristalline de Bhatt, Morrow et Scholze.
On utilise l’application construite précédemment pour montrer que le
morphisme de périodes de Tsuji est égal à celui de Česnavičius et
Koshikawa.
We start by giving the geometric version of a result of
Colmez and Nizioł establishing a comparison theorem between
-adic arithmetic
nearby cycles and syntomic sheaf cohomology. The local construction of this isomorphism
uses
-modules
and is obtained by reducing the period isomorphism to a comparison theorem
between cohomologies of Lie algebras. Then, applying Bhatt, Morrow and Scholze’s
“more general coordinates” method, we construct a global isomorphism. We can
deduce from this theorem the semistable conjecture of Fontaine and Jannsen. This
result was also proved, among others, by Tsuji, using Fontaine and Messing’s map,
and by Česnavičius and Koshikawa, who generalize the proof of Bhatt, Morrow and
Scholze’s crystalline conjecture. We use the previously constructed mapping to
show that Tsuji’s period morphism is equal to the one of Česnavičius and
Koshikawa.
Keywords
syntomic cohomology, period morphism, $p$-adic cohomology,
$p$-adic Hodge theory
