Abstract

Suivant un programme suggéré par Schmidt, on étudie l’approximation diophantienne pour les sous-espaces de l’espace euclidien ${ℝ}^n$. Si $A$ et $B$ sont deux sous-espaces de dimensions respectives $d$ et $e$, on interprète le $j$-ème angle entre $A$ et $B$ en termes de pinceaux dans la grassmannienne. Cela nous permet de majorer l’exposant diophantien presque sûr pour l’approximation diophantienne au $j$-ème angle d’un sous-espace $A$ choisi aléatoirement suivant la mesure de Lebesgue sur la variété grassmannienne. On conjecture que la borne obtenue, qui généralise celle de Moshchevitin, est optimale.

Following a suggestion of Schmidt, we study rational approximations to linear subspaces of the Euclidean space ${ℝ}^n$. Given two subspaces $A$ and $B$ with $\dim <!--FUNCTION\; APPLICATION-->A=d$ and $\dim <!--FUNCTION\; APPLICATION-->B=e$, we interpret the $j$-th angle between $A$ and $B$ in terms of pencils in the Grassmann variety. Using this, we derive an upper bound for the almost sure Diophantine exponent with respect to the $j$-th angle of a subspace $A$ chosen randomly with respect to the Lebesgue measure on the Grassmann variety. Our bound generalizes a result of Moshchevitin, and we conjecture that equality holds almost surely.

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