Abstract

On montre que la conjecture de Tate en codimension $1$ sur un corps de type fini résulte de la même conjecture pour les surfaces sur son sous-corps premier. En caractéristique positive, ceci est dû à de Jong–Morrow sur ${\mathbb{𝔽}}_p$ et à Ambrosi pour la réduction à ${\mathbb{𝔽}}_p$. Nous montrons cette dernière réduction d’une manière différente, qui fonctionne aussi en caractéristique zéro. Sur $\mathbb{Q}$, la réduction aux surfaces se fait par un argument facile reposant sur le théorème $(1,1)$ de Lefschetz.

We prove that the Tate conjecture in codimension $1$ over a finitely generated field follows from the same conjecture for surfaces over its prime subfield. In positive characteristic, this is due to de Jong–Morrow over ${\mathbb{𝔽}}_p$ and to Ambrosi for the reduction to ${\mathbb{𝔽}}_p$. We give a different proof than Ambrosi’s, which also works in characteristic $0$; over $\mathbb{Q}$, the reduction to surfaces follows from a simple argument using Lefschetz’s $(1,1)$ theorem.

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