For every Brouwer (ie planar, fixed point free, orientation preserving) homeomorphism
there exists
a covering of the plane by translation domains, invariant simply-connected open subsets
on which
is conjugate to an affine translation. We introduce a distance
on
the plane that counts the minimal number of translation domains connecting a pair
of points. This allows us to describe a combinatorial conjugacy invariant, and to show
the existence of a finite family of generalised Reeb components separating any two points
such
that .
Résumé
Tout homéomorphisme de Brouwer s’obtient en recollant des domaines detranslation (ouverts simplement connexes, invariants, en restriction auxquels la
dynamique est conjuguée à une translation). On introduit une distance
sur le
plan qui compte le nombre minimal de domaines de translation dont la réunion
connecte deux points. Ceci nous permet de décrire un invariant combinatoire de
conjugaison, qui décrit très grossièrement la manière dont les domaines de
translation se recollent. On montre également l’existence de structures dynamiques
qui généralisent la présence de composantes de Reeb dans les feuilletages non
triviaux du plan.
Keywords
homeomorphism, surface, fixed point, index, Reeb
components, Brouwer
