Le groupe modulaire
du plan privé d’un ensemble de Cantor apparaît naturellement en dynamique. On
montre ici que le graphe des rayons, analogue du complexe des courbes pour cette
surface de type infini, est de diamètre infini et hyperbolique. On utilise l’action de
sur ce
graphe hyperbolique pour exhiber un quasi-morphisme non trivial explicite sur
et pour montrer que le deuxième groupe de cohomologie bornée de
est de
dimension infinie. On donne enfin un exemple d’un élément hyperbolique de
dont
la longueur stable des commutateurs est nulle. Ceci réalise un programme proposé
par Danny Calegari.
The mapping class group
of the complement of a Cantor set in the plane arises naturally in dynamics. We show
that the ray graph, which is the analog of the complex of curves for this surface of
infinite type, has infinite diameter and is hyperbolic. We use the action of
on this graph to find an explicit non trivial quasimorphism on
and to show that this group has infinite dimensional second bounded
cohomology. Finally we give an example of a hyperbolic element of
with
vanishing stable commutator length. This carries out a program proposed by Danny
Calegari.
Keywords
mapping class groups, surface homeomorphisms,
quasimorphisms, Gromov-hyperbolic space, Cantor sets
