Dans un groupe de Coxeter, tout sous-groupe engendré par des réflexions est aussi
un groupe de Coxeter. Ce théorème a été démontré il y a un peu plus de
trente ans indépendamment par V. V. Deodhar et par M. Dyer. Nous en
donnons une autre démonstration, fondée sur la propriété suivante. Soit
un groupe engendré
par un ensemble
d’éléments d’ordre 2. Alors, il existe une partie
de
telle que
soit un système
de Coxeter dont
est l’ensemble des réflexions si et seulement s’il existe une opération de
sur un ensemble
non vide
et
une famille
de
partitions de
remplissant certaines conditions simples de nature géométrique.
In a Coxeter group, any subgroup generated by reflections is also a
Coxeter group. This theorem was proved a little more than thirty years
ago independently by V. V. Deodhar and by M. Dyer. We give an
alternative proof of this result that is based on the following property. Let
be a group
generated by a set
of elements of order 2. Then, there exists a subset
of
such that
is a Coxeter
system for which
is the set of reflections if and only if there exists an action of
on a nonempty
set
and a
family
of
partitions of
satisfying some simple conditions of a geometrical nature.
À la mémoire de Jacques Tits
Keywords
Coxeter systems, reflection subgroups, families of
partitions, walls
