Abstract

Nous nous intéressons à une classe de groupes, les quasi groupes de Frobenius (avec involutions), dont la structure interne généralise celle des groupes classiques ${\mathrm{GA}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_1(ℂ)$, ${\mathrm{PGL}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_2(ℂ)$ et ${\mathrm{SO}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_3(ℝ)$  : un sous-groupe et ses conjugués, d’indice fini dans leur normalisateur et d’intersection mutuelle triviale, recouvrent “génériquement” le groupe ambiant. Dans la perspective de la théorie des modèles, nous travaillons avec l’hypothèse de l’existence d’une bonne notion de dimension sur les ensembles définissables (il faut distinguer le cas o-minimal et le cas rangé). Nous accordons une attention particulière au cas rangé. En étudiant la géométrie d’incidence induite par les involutions, nous esquissons une classification des quasi groupes de Frobenius et nous déterminons ainsi sous quelles conditions des groupes classiques peuvent être identifiés dans un cadre dimensionnel.

We are interested in a class of groups, quasi Frobenius groups (with involutions), whose internal structure generalizes that of the classical groups ${\mathrm{GA}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_1(ℂ)$, ${\mathrm{PGL}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_2(ℂ)$ and ${\mathrm{SO}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_3(ℝ)$: a subgroup and its conjugates, of finite index in their normalizer and trivial mutual intersection, cover “generically” the ambient group. From the perspective of model theory, we work with the hypothesis of the existence of a good notion of dimension on definable sets (we must distinguish between the o-minimal case and the ranked case). We pay special attention to the ranked case. By studying the geometry of incidence induced by involutions, we sketch a classification of quasi Frobenius groups and thus determine under which conditions classical groups can be identified in a dimensional framework.

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