La theorie des classes
caractéristiques peut etrê deéveloppée de manière axiomatique dans la
catégorie des espaces topologiques “admissibles”, i.e., localement compacts,
dénombrables á l’infini et de dimension cohomologique finie [Hirzebruch,
Topological Methods in Algebraic Geometry, Springer Verlag, N.Y.]. Nous allons nous
restreindre à la catégorie des variétés paracompactes, différentiables de classe
𝒞∞ et introduire les classes caractéristiques telles qu’clles étaient construites
originalement par S. Chern [voir par exemple, S. Chern, Differential geometry of fiber
bundles, Proc. Int. Congress, 1950]. P. A. Griffiths a démontré le théoremè, dû
à Chern, dit de Gauss-Bonnet pour le cas des fibres vectoriels de rang 1 [On a
theorem of Chern, Illinois J. Math. 6 (1962)]. Dans le même ordre d’idées nous
voulons donner dans ce travail une démonstration simple, par la théorie des
connexions, du théorème de Gauss-Bonnet dans le cas des fibrés vectoriels de
rang quelconque.
