Vol. 33, No. 3, 1970

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Zu einer Arbeit von J. L. Berggren über ambivalente Gruppen

Adalbert Kerber

Vol. 33 (1970), No. 3, 669–675
Abstract

Gruppen, in denen jedes Element zu seinem Inversen konjugiert ist, oder, was dasselbe ist: deren sämtliche Charaktere über dem Körper C der komplexen Zahlen reell sind, heissen ambivalent. Die Tatsache, dass jede 2-Gruppe in eine ambivalente Gruppe eingebettet werden kann, ergibt sich daraus, dass die 2-Sylowuntergruppen symmetrischer Gruppen Sn ambivalent sind, was wiederum mit der Assoziativität der Bildung des Kranzprodukts aus dem Ergebnis folgt, dass mit G auch das Kranzprodukt G|S2 ambivalent ist (J. L. Berggren in Pacific J. Math. 28 (1969), 289 29S). Diese Arbeit Berggrens hat weiter zum Inhalt, dass unter den alternierenden Gruppen genau die An mit n ∈{1,2,5,6,10,14} und dass gewisse aus einer Klasse von G. A. Miller definierter Gruppen ambivalent sind.

Dazu werden hier einige Bemerkungen gemacht: Mit G ist auch GlSn ambivalent. Es wird auch die vom darstellungstheoretischen Standpunkt her schärfere Frage gestellt, wann alle gewöhnlichen irreduziblen Darstellungen nicht nur reellen Charakter haben, sondern sogar zu reellen Darstellungen äquivalent sind. Im Fall der sechs ambivalenten alternierenden Gruppen gilt das nur in den beiden trivialen Fällen AI = A2 = {1}. Für Kranzprodukte ergibt sich: Sind alle gewöhnlichen irreduziblen Darstellungen von G,H und von gewissen Unter gruppen von H zu reellen Darstellungen äquivalent, dann auch alle von GtH. Ist G oder H nicht ambivalent, dann auch GlH nicht.

Mathematical Subject Classification
Primary: 20.80
Milestones
Received: 11 November 1969
Published: 1 June 1970
Authors
Adalbert Kerber