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Gruppen, in denen jedes
Element zu seinem Inversen konjugiert ist, oder, was dasselbe ist: deren sämtliche
Charaktere über dem Körper C der komplexen Zahlen reell sind, heissen
ambivalent. Die Tatsache, dass jede 2-Gruppe in eine ambivalente Gruppe eingebettet
werden kann, ergibt sich daraus, dass die 2-Sylowuntergruppen symmetrischer
Gruppen Sn ambivalent sind, was wiederum mit der Assoziativität der
Bildung des Kranzprodukts aus dem Ergebnis folgt, dass mit G auch das
Kranzprodukt G|S2 ambivalent ist (J. L. Berggren in Pacific J. Math. 28 (1969),
289 − 29S). Diese Arbeit Berggrens hat weiter zum Inhalt, dass unter den
alternierenden Gruppen genau die An mit n ∈{1,2,5,6,10,14} und dass
gewisse aus einer Klasse von G. A. Miller definierter Gruppen ambivalent
sind.
Dazu werden hier einige Bemerkungen gemacht: Mit G ist auch GlSn
ambivalent. Es wird auch die vom darstellungstheoretischen Standpunkt her
schärfere Frage gestellt, wann alle gewöhnlichen irreduziblen Darstellungen
nicht nur reellen Charakter haben, sondern sogar zu reellen Darstellungen
äquivalent sind. Im Fall der sechs ambivalenten alternierenden Gruppen gilt das
nur in den beiden trivialen Fällen AI = A2 = {1}. Für Kranzprodukte
ergibt sich: Sind alle gewöhnlichen irreduziblen Darstellungen von G,H und
von gewissen Unter gruppen von H zu reellen Darstellungen äquivalent,
dann auch alle von GtH. Ist G oder H nicht ambivalent, dann auch GlH
nicht.
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